70 Дано: DABC – правильная пирамида, О – точка пересечения медиан, DC = 20, BC = 12√3. Найти: DO.

Рассмотрим правильную пирамиду $$DABC$$. $$O$$ – точка пересечения медиан основания $$ABC$$.

1) Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, то есть $$AB=BC=AC=12\sqrt{3}$$.

2) $$AO$$ – это радиус описанной около правильного треугольника окружности. $$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$, где $$a$$ - сторона правильного треугольника. Следовательно, $$AO = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{12 \cdot 3}{3} = 12$$

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DAO$$, где $$DA = 20$$, $$AO = 12$$. По теореме Пифагора $$DO = \sqrt{DA^2 - AO^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$$

Ответ: $$DO = 16$$