16 Дано: DABC - правильная пирамида, дву- гранный угол при ребре основания 45°. Найти: высоту пирамиды.

Дано: DABC — правильная пирамида, двугранный угол при ребре основания \(45^\circ\).

Найти: высоту пирамиды.

Решение:

1. Пусть DO - высота пирамиды, где O - центр основания ABC. Так как пирамида правильная, то основание - равносторонний треугольник.

2. Пусть DM - апофема (высота боковой грани), проведенная к стороне AC. Тогда угол DMO - двугранный угол при ребре основания, и он равен \(45^\circ\).

3. Из условия известно, что сторона основания \(AC = \sqrt{48}\).

4. В равностороннем треугольнике центр O является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. OM - радиус вписанной окружности в треугольник ABC.

5. Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник равен \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\), где a - сторона треугольника. Следовательно, \(OM = \frac{\sqrt{48}\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{3}}{6} = \frac{4 \cdot 3}{6} = 2\).

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник DOM. Угол DMO равен \(45^\circ\). Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), то угол DOM также равен \(45^\circ\). Следовательно, треугольник DOM равнобедренный, и \(DO = OM\).

7. Таким образом, высота пирамиды \(DO = 2\).

Но если под основанием подразумевается квадрат, то:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой (высотой боковой грани). Двугранный угол при ребре основания равен углу между апофемой и плоскостью основания, который равен \(45^\circ\).

2. Обозначим сторону основания как a, тогда \(a = \sqrt{48}\).

3. Высота пирамиды (h) является катетом в прямоугольном треугольнике, а половина стороны основания (a/2) также является катетом. Так как угол между апофемой и плоскостью основания равен \(45^\circ\), то треугольник равнобедренный, и высота равна половине стороны основания.

4. Таким образом, высота пирамиды равна \(h = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{48}}{2} = \sqrt{\frac{48}{4}} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\).

Ответ: \(2\sqrt{3}\)