Дано: ДАВС∞ ДА₁В₁С₁ Найдите: x, y, z

Разбираемся:

№1

• Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, значит, их стороны пропорциональны:

\[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\]

• Дано, что \(\frac{A_1B_1}{AB} = 2\), следовательно \(\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{1}{2}\).
• Подставляем известные значения и находим x, y, z:

\[\frac{6}{x} = \frac{7}{y} = \frac{8}{z} = \frac{1}{2}\]

• Решаем пропорции:

\[\frac{6}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 6 \cdot 2 = 12\] см

\[\frac{7}{y} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 7 \cdot 2 = 14\] см

\[\frac{8}{z} = \frac{1}{2} \Rightarrow z = 8 \cdot 2 = 16\] см

Ответ: x = 12 см, y = 14 см, z = 16 см

№2

• Аналогично предыдущему, треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, и \(\frac{A_1B_1}{AB} = 2\), следовательно \(\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{1}{2}\).
• Подставляем известные значения и находим x, y, z:

\[\frac{x}{18} = \frac{y}{21} = \frac{z}{24} = \frac{1}{2}\]

• Решаем пропорции:

\[\frac{x}{18} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9\] см

\[\frac{y}{21} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 21 \cdot \frac{1}{2} = 10.5\] см

\[\frac{z}{24} = \frac{1}{2} \Rightarrow z = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12\] см

Ответ: x = 9 см, y = 10.5 см, z = 12 см

№3

• Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, значит, их стороны пропорциональны:

\[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\]

• Подставляем известные значения и находим x, y:

\[\frac{6}{18} = \frac{7}{x} = \frac{8}{y}\]

\[\frac{1}{3} = \frac{7}{x} = \frac{8}{y}\]

• Решаем пропорции:

\[\frac{1}{3} = \frac{7}{x} \Rightarrow x = 7 \cdot 3 = 21\] см

\[\frac{1}{3} = \frac{8}{y} \Rightarrow y = 8 \cdot 3 = 24\] см

Ответ: x = 21 см, y = 24 см

№4

• Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, значит, их стороны пропорциональны:

\[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\]

• Подставляем известные значения и находим x, y:

\[\frac{x}{12} = \frac{y}{14} = \frac{8}{16}\]

\[\frac{x}{12} = \frac{y}{14} = \frac{1}{2}\]

• Решаем пропорции:

\[\frac{x}{12} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\] см

\[\frac{y}{14} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7\] см

Ответ: x = 6 см, y = 7 см

№5

• Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, значит, их стороны пропорциональны:

\[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\]

• Подставляем известные значения и находим x, y:

\[\frac{6}{12} = \frac{x}{14} = \frac{8}{y}\]

\[\frac{1}{2} = \frac{x}{14} = \frac{8}{y}\]

• Решаем пропорции:

\[\frac{1}{2} = \frac{x}{14} \Rightarrow x = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7\] см

\[\frac{1}{2} = \frac{8}{y} \Rightarrow y = 8 \cdot 2 = 16\] см

Ответ: x = 7 см, y = 16 см

№6

• Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, значит, их стороны пропорциональны:

\[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\]

• Подставляем известные значения и находим x, y, z:

\[\frac{6}{x} = \frac{7}{y} = \frac{8}{z}\]

• Периметр треугольника A₁B₁C₁ равен 105 см, значит:

\[x + y + z = 105\]

• Выразим x, y через z:

\[x = \frac{6z}{8} = \frac{3z}{4}\]

\[y = \frac{7z}{8}\]

• Подставляем в уравнение периметра:

\[\frac{3z}{4} + \frac{7z}{8} + z = 105\]

\[\frac{6z + 7z + 8z}{8} = 105\]

\[21z = 105 \cdot 8\]

\[z = \frac{105 \cdot 8}{21} = 5 \cdot 8 = 40\] см

• Находим x и y:

\[x = \frac{3 \cdot 40}{4} = 3 \cdot 10 = 30\] см

\[y = \frac{7 \cdot 40}{8} = 7 \cdot 5 = 35\] см

Ответ: x = 30 см, y = 35 см, z = 40 см

№7

• Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, и их стороны относятся как 6:7:8. Периметр треугольника A₁B₁C₁ равен 42 см.
• Пусть a = 6k, b = 7k, c = 8k, где k - коэффициент пропорциональности.
• Тогда периметр треугольника A₁B₁C₁ равен:

\[6k + 7k + 8k = 42\]

\[21k = 42\]

\[k = 2\]

• Находим x, y, z:

\[x = 6k = 6 \cdot 2 = 12\] см

\[y = 7k = 7 \cdot 2 = 14\] см

\[z = 8k = 8 \cdot 2 = 16\] см

Ответ: x = 12 см, y = 14 см, z = 16 см

№8

• Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, и их стороны относятся как 6:7:8. Сторона z = 16 см.
• Пусть a = 6k, b = 7k, c = 8k, где k - коэффициент пропорциональности.

\[8k = 16\]

\[k = 2\]

• Находим x и y:

\[x = 6k = 6 \cdot 2 = 12\] см

\[y = 7k = 7 \cdot 2 = 14\] см

Ответ: x = 12 см, y = 14 см

№9

• Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, и их стороны относятся как 6:7:8. y - x = 4 см.
• Пусть a = 6k, b = 7k, c = 8k, где k - коэффициент пропорциональности.

\[7k - 6k = 4\]

\[k = 4\]

• Находим x, y, z:

\[x = 6k = 6 \cdot 4 = 24\] см

\[y = 7k = 7 \cdot 4 = 28\] см

\[z = 8k = 8 \cdot 4 = 32\] см

Ответ: x = 24 см, y = 28 см, z = 32 см

№10

• Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, и их стороны относятся как 6:7:8. х + у = 70 см.
• Пусть a = 6k, b = 7k, c = 8k, где k - коэффициент пропорциональности.

\[6k + 7k = 70\]

\[13k = 70\]

\[k = \frac{70}{13}\]

• Находим x, y, z:

\[x = 6k = 6 \cdot \frac{70}{13} = \frac{420}{13} \approx 32.31\] см

\[y = 7k = 7 \cdot \frac{70}{13} = \frac{490}{13} \approx 37.69\] см

\[z = 8k = 8 \cdot \frac{70}{13} = \frac{560}{13} \approx 43.08\] см

Ответ: x ≈ 32.31 см, y ≈ 37.69 см, z ≈ 43.08 см