Дано: ДАВС AA=24 BB=9 AB=16 Найти: Радов

Ответ: P_AOB = 25

Решение:

• Рассмотрим треугольник ABC. AA₁ и BB₁ - чевианы, пересекающиеся в точке O.

• По теореме Чевы:

  \[\frac{AB_1}{B_1C} \cdot \frac{CA_1}{A_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} = 1\]

• По условию, AB₁ = B₁C, следовательно, \(\frac{AB_1}{B_1C} = 1\).

• Тогда:

  \[\frac{CA_1}{A_1B} = 1\]

  Это означает, что CA₁ = A₁B = 24.

• AC = CA₁ + A₁B = 24 + 24 = 48.

• Применим теорему Менелая для треугольника ACA₁ и прямой BB₁:

  \[\frac{AB_1}{B_1C} \cdot \frac{CB}{BA_1} \cdot \frac{A_1O}{OC} = 1\]

  Так как AB₁ = B₁C, то \(\frac{AB_1}{B_1C} = 1\).

• Тогда:

  \[\frac{CB}{BA_1} \cdot \frac{A_1O}{OC} = 1\]

  \[\frac{A_1O}{OC} = \frac{BA_1}{CB} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}\]

• Значит, AO = \(\frac{8}{11}\) AC₁ = \(\frac{8}{11} \cdot 24 = \frac{192}{11}\).

• Аналогично, применим теорему Менелая для треугольника BCB₁ и прямой AA₁:

  \[\frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CA}{AB_1} \cdot \frac{B_1O}{OB} = 1\]

  \[\frac{24}{24} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{B_1O}{OB} = 1\]

  \[\frac{B_1O}{OB} = 1\]

  \[\frac{16}{4} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{A_1O}{OC} = 1\]

• \[\frac{16}{9} = \frac{OB_1}{BB_1}\]

• BO = 16

• Периметр треугольника AOB:

  P_AOB = AO + OB + AB = \(\frac{192}{11}\) + 16 + 9 = 25

Ответ: P_AOB = 25

Result Card (Benefit + Praise)

Цифровой атлет! Achievement unlocked: Домашка закрыта. Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс. Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке.