Дано: DC ⊥ B. DC = 4, AD = BD, AB = 8, PABC=18. Найти: расстояние от точки D до прямой АВ.

Рассмотрим треугольник АВС. Периметр равен 18, АВ = 8, значит, АС + ВС = Р - АВ = 18 - 8 = 10.

Так как AD = BD, то треугольник ABD - равнобедренный. Пусть угол DAB = углу DBA = α, тогда угол ADB = 180° - 2α.

Рассмотрим треугольник ADC и BDC. AD = BD, DC - общая, угол DCA = углу DCB = 90°. Следовательно, треугольники равны по двум катетам. Значит, АС = ВС. Так как АС + ВС = 10, то АС = ВС = 5.

Рассмотрим треугольник АВС. Он равнобедренный, АС = ВС = 5, АВ = 8. Пусть СН - высота, тогда она является и медианой. Значит, АН = ВН = 4.

Рассмотрим треугольник АСН. Он прямоугольный. По теореме Пифагора: $$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$$

Площадь треугольника АВС равна $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$$

Так как AD = BD, то треугольник ABD - равнобедренный. Пусть угол DAB = углу DBA = α, тогда угол ADB = 180° - 2α.

Площадь треугольника ABD равна $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$$, где h - расстояние от точки D до прямой АВ. Также площадь равна $$S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BD \cdot sin(180° - 2α)$$. Так как sin(180° - 2α) = sin(2α), то $$S = \frac{1}{2} \cdot AD^2 \cdot sin(2α)$$.

Рассмотрим треугольник ADC. Он прямоугольный. По теореме Пифагора: $$AD = \sqrt{AC^2 + DC^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$$

Рассмотрим треугольник АВС. $$cos α = \frac{AH}{AC} = \frac{4}{5}$$, $$sin α = \frac{CH}{AC} = \frac{3}{5}$$

$$sin(2α) = 2 \cdot sin α \cdot cos α = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$$

Площадь треугольника ABD равна $$S = \frac{1}{2} \cdot AD^2 \cdot sin(2α) = \frac{1}{2} \cdot 41 \cdot \frac{24}{25} = \frac{492}{25} = 19.68$$

Площадь треугольника ABD равна $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h = 4h$$

4h = 19.68

h = 4.92

Ответ: 4.92