Дано дифференциальное уравнение cos x · y' + sin x · y = 0 при y(π/3) = 1. Тогда его решением является

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным уравнением первого порядка. Его можно представить в виде:

\( \cos x \cdot y' + \sin x \cdot y = 0 \)

Разделим обе части на \( \cos x \) (при \( \cos x \neq 0 \)):

\( y' + \frac{\sin x}{\cos x} y = 0 \)

\( y' + \tan x \cdot y = 0 \)

Это уравнение с разделяющимися переменными:

\( \frac{dy}{dx} = -\tan x \cdot y \)

\( \frac{dy}{y} = -\tan x dx \)

Интегрируем обе части:

\[ \int \frac{dy}{y} = \int -\tan x dx \]

\[ \ln|y| = -\ln|\cos x| + C \]

\[ \ln|y| = \ln|\frac{1}{\cos x}| + C \]

\[ y = A \frac{1}{\cos x} \]

Где \( A = \pm e^C \) — произвольная постоянная.

Используем начальное условие \( y(\frac{\pi}{3}) = 1 \):

\[ 1 = A \frac{1}{\cos(\frac{\pi}{3})} \]

\[ 1 = A \frac{1}{1/2} \]

\[ 1 = 2A \]

\[ A = \frac{1}{2} \]

Подставляем значение \( A \) в общее решение:

\[ y = \frac{1}{2} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{2 \cdot \cos x} \]

Проверим варианты ответов:

1. \( y = \frac{2}{\sqrt{3}} \cos x \)

\( y' = -\frac{2}{\sqrt{3}} \sin x \)

\( \cos x \left( -\frac{2}{\sqrt{3}} \sin x \right) + \sin x \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \cos x \right) = -\frac{2}{\sqrt{3}} \cos x \sin x + \frac{2}{\sqrt{3}} \sin x \cos x = 0 \)

\( y(\frac{\pi}{3}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \neq 1 \)

2. \( y = 2 \sin x \)

\( y' = 2 \cos x \)

\( \cos x (2 \cos x) + \sin x (2 \sin x) = 2 \cos^2 x + 2 \sin^2 x = 2(\cos^2 x + \sin^2 x) = 2 \neq 0 \)

3. \( y = 2 \cos x \)

\( y' = -2 \sin x \)

\( \cos x (-2 \sin x) + \sin x (2 \cos x) = -2 \cos x \sin x + 2 \sin x \cos x = 0 \)

\( y(\frac{\pi}{3}) = 2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \)

4. \( y = \frac{1}{2 \cos x} \)

\( y' = \frac{1}{2} \cdot (-\sin x) \cdot (\cos x)^{-2} = -\frac{\sin x}{2 \cos^2 x} \)

\( \cos x \left( -\frac{\sin x}{2 \cos^2 x} \right) + \sin x \left( \frac{1}{2 \cos x} \right) = -\frac{\sin x}{2 \cos x} + \frac{\sin x}{2 \cos x} = 0 \)

\( y(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2 \cos(\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1 \)

Ответ: y = \( \frac{1}{2 \cos x} \).