Дано дифференциальное уравнение cos x · y' + sin x · y = 0 при y(\(\frac{\pi}{3}\)) = 1. Тогда его решением является функция...

Решение:

Дано дифференциальное уравнение: \( \cos x \cdot y' + \sin x \cdot y = 0 \).

Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Перепишем его в виде:

\( \cos x \cdot \frac{dy}{dx} = -\sin x \cdot y \)

Разделим переменные:

\( \frac{dy}{y} = -\frac{\sin x}{\cos x} dx \)

Интегрируем обе части:

\( \int \frac{dy}{y} = -\int \frac{\sin x}{\cos x} dx \)

\( \ln|y| = -(-\ln|\cos x|) + C \)

\( \ln|y| = \ln|\cos x| + C \)

\( y = e^{\ln|\cos x| + C} \)

\( y = e^C \cdot e^{\ln|\cos x|} \)

\( y = A \cdot \cos x \), где \( A = e^C \) — произвольная постоянная.

Теперь используем начальное условие \( y(\frac{\pi}{3}) = 1 \) для нахождения \( A \):

\( 1 = A \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) \)

\( \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \)

\( 1 = A \cdot \frac{1}{2} \)

\( A = 2 \)

Подставляем найденное значение \( A \) в общее решение:

\( y = 2 \cdot \cos x \)