Дано дифференциальное уравнение cos x⋅y'+sinx⋅y = 0 при y(π/3)=1. Тогда его решением является

Решение:

Дано дифференциальное уравнение: \( \cos x \cdot y' + \sin x \cdot y = 0 \)

Перепишем уравнение:

\( \cos x \cdot \frac{dy}{dx} = -\sin x \cdot y \)

Если \( y \neq 0 \) и \( \cos x \neq 0 \), разделим переменные:

\( \frac{dy}{y} = -\frac{\sin x}{\cos x} dx \)

Интегрируем обе части:

\( \int \frac{dy}{y} = \int -\frac{\sin x}{\cos x} dx \)

\( \ln|y| = \ln|\cos x| + C \)

\( |y| = e^{\ln|\cos x| + C} \)

\( |y| = e^C \cdot |\cos x| \)

\( y = A \cdot \cos x \), где \( A = \pm e^C \) или \( A=0 \) (частный случай).

Используем начальное условие \( y(\frac{\pi}{3}) = 1 \):

\( 1 = A \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) \)

\( 1 = A \cdot \frac{1}{2} \)

\( A = 2 \)

Таким образом, частное решение:

\( y = 2 \cdot \cos x \)

Среди предложенных вариантов, нам подходит: \( y = 2 \cdot \cos x \).