4. Дано: ДМРH; H = 90°; M = 30°. 1 Доказать: HP=MP. Доказательство. 1) На луче РН отложим отрезок НО, равный отрезку НР. 2) В треугольниках МРН и МОН сторона НМ PH = по /PHM = ∠OHM, так как они ; и /РНМ = признаку равенства тре- Значит, треугольники равны по угольников, следовательно, ОМ__PM, ∠OMH = ∠_ 3) Треугольник РМО – равнобедренный, так как РМ = ZPMO = ∠PMH + ∠ = 30° + = . Поэтому треугольник РΜΟ – и РМ = PO = PH + = НР, значит, НР =

4. Дано: ΔMPH; ∠H = 90°; ∠M = 30°.

Доказать: $$HP=\frac{1}{2}MP$$.

Доказательство.

1. На луче PH отложим отрезок HO, равный отрезку HP.
   • По построению HO = HP.
2. В треугольниках MPH и MOH сторона HM – общая;
   • PH = OH по построению;
   • ∠PHM = ∠OHM, так как они прямые;
   • ∠PHM = ∠OHM = 90° - по условию.
3. Значит, треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), следовательно, ОМ = PM, ∠OMH = ∠PMH.
4. Треугольник PMO – равнобедренный, так как РМ = ОМ.
   • ∠PMO = ∠PMH + ∠OMH = 30° + 30° = 60°. Поэтому треугольник РΜΟ – равносторонний и РМ = PO = PH + HP = 2HP, значит, HP = $$ \frac{1}{2} $$MP.