1. Дано: ДВАE = 112°, ∠DBF = 68°, BC = 9 см (рис. 4.74). Найти: АС. 2. Дано: ДСBM = ∠ACF, PAR PABC = 34 см, ВС = 12 см (рис. 4.75). Найти: АВ. 3. Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треуголь- ника на 17 см меньше другой. Найдите стороны этого треуголь- ника, если его периметр равен 77 см. 4. В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании образуют при пересечении угол, равный 52°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

Задача 1

Смотри, тут всё просто: Угол \(\angle ABC\) является смежным с углом \(\angle ABE\). Сумма смежных углов равна 180°. Поэтому можем найти \(\angle ABC\).

\(\angle ABC = 180^\circ - \angle BAE = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ\)

\(\angle DBF = 68^\circ\) (дано). \(\angle ABC = \angle DBF = 68^\circ\)

Следовательно, треугольник \(\Delta ABC\) - равнобедренный (углы при основании равны).

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит:

\(AC = BC = 9\) см.

Ответ: 9 см.

Задача 2

Разбираемся: В этой задаче нам понадобятся знания о периметре треугольника и свойствах углов.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: \(P_{ABC} = AB + BC + AC = 34\) см.

По условию \(\angle CBM = \angle ACF\). Эти углы являются внешними углами треугольника при вершинах B и C.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Значит:

\(\angle CBM = \angle BAC + \angle ACB\)
\(\angle ACF = \angle ABC + \angle BAC\)

Поскольку \(\angle CBM = \angle ACF\), то:

\(\angle BAC + \angle ACB = \angle ABC + \angle BAC\)
\(\angle ACB = \angle ABC\)

Следовательно, треугольник \(\Delta ABC\) — равнобедренный с основанием AB (углы при основании равны).

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит:

\(AC = BC = 12\) см.

Теперь можем найти AB, зная периметр:

\(AB = P_{ABC} - BC - AC = 34 - 12 - 12 = 10\) см.

Ответ: 10 см.

Задача 3

Логика такая: Пусть одна сторона треугольника равна x см, тогда другая (равная ей, так как треугольник равнобедренный) равна (x + 17) см. Т.к. треугольник тупоугольный, то равные стороны являются боковыми. Составляем уравнение периметра:

\(x + (x + 17) + (x + 17) = 77\)
\(3x + 34 = 77\)
\(3x = 43\)
\(x = \frac{43}{3} \approx 14.33\) см

Тогда боковые стороны равны:

\(x + 17 = \frac{43}{3} + 17 = \frac{43 + 51}{3} = \frac{94}{3} \approx 31.33\) см

Ответ: 14.33 см, 31.33 см, 31.33 см.

Задача 4

Смотри, как это работает: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Биссектрисы этих углов делят каждый угол пополам. Угол между биссектрисами равен 52°.

Обозначим угол при основании треугольника как \(\alpha\). Тогда угол между биссектрисами можно выразить как:

\(180^\circ - \frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2} = 52^\circ\)
\(180^\circ - \alpha = 52^\circ\)
\(\alpha = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ\)

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Пусть угол при вершине равен \(\beta\). Тогда:

\(2 \cdot \alpha + \beta = 180^\circ\)
\(2 \cdot 128^\circ + \beta = 180^\circ\) - что невозможно, т.к. \(2 \cdot 128^\circ = 256^\circ > 180^\circ\)

Т.е. условие задачи некорректно. Угол между биссектрисами *не может* быть равен 52°, если треугольник равнобедренный.

Предположим, что угол между биссектрисами равен 120°.

Тогда:

\(180^\circ - \alpha = 120^\circ\)
\(\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\)

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Пусть угол при вершине равен \(\beta\). Тогда:

\(2 \cdot \alpha + \beta = 180^\circ\)
\(2 \cdot 60^\circ + \beta = 180^\circ\)
\(\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\)

Ответ: 60°.