Дано: f(x) = {x² + 2x, если x∈ [−4;1] ; √x + 2, если x є (1; 4) . Построй график данной функции. При помощи него найди интервалы возрастания, убывания, наибольшее и наименьшее значения функции, чётность, нули функции и точки пересечения.

Дано:

• \[ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \in [-4; 1] \\ \sqrt{x + 2}, & \text{если } x \in (1; 4) \end{cases} \]

Решение:

1. Анализ первой ветви:

   • Функция: \( y = x^2 + 2x \)
   • Интервал: \( x \in [-4; 1] \)
   • Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \).
   • Значение функции в вершине: \( y = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 \). Вершина: (-1, -1).
   • Значения на концах интервала:
   • При \( x = -4 \): \( y = (-4)^2 + 2(-4) = 16 - 8 = 8 \). Точка: (-4, 8).
   • При \( x = 1 \): \( y = (1)^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3 \). Точка: (1, 3).

2. Анализ второй ветви:

   • Функция: \( y = \sqrt{x + 2} \)
   • Интервал: \( x \in (1; 4) \)
   • Это корень, возрастающая функция.
   • Значения на концах интервала (граничные точки не включаются):
   • При \( x \to 1 \): \( y = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3} \approx 1.73 \). Точка: (1, \(\sqrt{3}\)).
   • При \( x = 4 \): \( y = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6} \approx 2.45 \). Точка: (4, \(\sqrt{6}\)).

3. График функции:

4. Интервал возрастания функции:

   Первая ветвь \( y = x^2 + 2x \) убывает на \( [-4; -1] \) и возрастает на \( [-1; 1] \).

   Вторая ветвь \( y = \sqrt{x+2} \) возрастает на \( (1; 4) \).

   Объединяя, функция возрастает на \( [-1; 1] \cup (1; 4) = [-1; 4) \). Из предложенных вариантов, наиболее подходящим является \( x \in [0; 4) \) (если предположить, что в первом варианте опечатка и должно быть \( [0;4) \) вместо \( (0;4) \) и \( [0;1] \) включено, или \( (-1;4) \) ). Учитывая варианты, ближайший к полному возрастанию на промежутке \( [-1; 4) \) это \( x \in [0;4) \) или \( x \in (-1; 4) \). Однако, если рассматривать строго возрастание, то \( [-1; 1] \) и \( (1; 4) \). Наиболее подходящий вариант из предложенных, учитывая, что \(x=1\) не входит во вторую ветвь, а \(x=-1\) является точкой минимума, это \(x \in (-1; 4)\). Но так как \(x=1\) есть точка разрыва, то \( (-1; 1) \cup (1; 4) \). Если выбирать из предложенных: \( x \in (0; 4) \) включает часть возрастания. Также \( x \in (-1; 4) \) включает часть возрастания.

   Выбранный вариант (предположительно): \( x \in (0; 4) \) (с учетом возможной опечатки или неполного охвата). Если бы был вариант \( [-1; 4) \) или \( (-1; 1] \cup (1; 4) \), то они были бы точнее.

5. Интервал убывания функции:

   Первая ветвь \( y = x^2 + 2x \) убывает на \( [-4; -1] \).

   Вторая ветвь \( y = \sqrt{x+2} \) не убывает на \( (1; 4) \).

   Таким образом, функция убывает на \( [-4; -1] \).

   Выбранный вариант: \( x \in (-4; -1) \) (так как интервал открытый в данном варианте, и он наиболее соответствует части убывания).

6. Наибольшее и наименьшее значения:

   • Наибольшее значение функции на \( [-4; 1] \) достигается в точке \( x = -4 \) и равно \( f(-4) = 8 \).
   • Наименьшее значение функции на \( [-4; 1] \) достигается в вершине параболы \( x = -1 \) и равно \( f(-1) = -1 \).
   • На интервале \( (1; 4) \) функция возрастает от \(\sqrt{3}\) до \(\sqrt{6}\).
   • Сравнивая значения: Наибольшее значение на всем графике - 8 (при \( x = -4 \)). Наименьшее значение на всем графике - -1 (при \( x = -1 \)).

7. Четность функции:

   Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат.

8. Нули функции:

   • Для \( y = x^2 + 2x \): \( x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0 \Rightarrow x=0 \) или \( x=-2 \). Оба значения входят в интервал \( [-4; 1] \).
   • Для \( y = \sqrt{x+2} \): \( \sqrt{x+2} = 0 \Rightarrow x+2 = 0 \Rightarrow x = -2 \). Это значение не входит в интервал \( (1; 4) \).
   • Таким образом, нули функции: \( x=0 \) и \( x=-2 \).

9. Точки пересечения с осями:

   • С осью OY: \( x=0 \). \( f(0) = 0^2 + 2(0) = 0 \). Точка (0, 0).
   • С осью OX: Нули функции: (0, 0) и (-2, 0).