Дано: <HCM = 80°, ΔABC - прямоуг, <BHC = 90°, BM=MA. Найти: <B, <A.

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства треугольников и тригонометрию.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. У нас есть угол \( \angle BHC = 90° \) и нам дано \( \angle HCM = 80° \). Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поэтому \( \angle HBC + \angle BCH = 90° \).
2. Из графика видно, что точка M является серединой гипотенузы AB. В прямоугольном треугольнике ABC, медиана CM, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть \( CM = MA = MB \).
3. Рассмотрим треугольник CMB. Так как \( CM = MB \), то треугольник CMB является равнобедренным. Углы при основании равны, то есть \( \angle MCB = \angle MBC \).
4. Рассмотрим треугольник CMA. Так как \( CM = MA \), то треугольник CMA является равнобедренным. Углы при основании равны, то есть \( \angle MCA = \angle MAC \).
5. Составим уравнения, используя данные задачи:
• Из \( \angle HCM = 80° \) и \( \angle BHC = 90° \) следует, что в треугольнике BHC: \( \angle HBC = 180° - 90° - \angle BCH \).
• Из \( CM = MB \) следует, что \( \angle MCB = \angle HBC \).
• Из \( CM = MA \) следует, что \( \angle MCA = \angle MAC \).
• Мы знаем, что \( \angle ACB = \angle MCB + \angle MCA = 90° \) (так как \( \triangle ABC \) - прямоугольный).
• Мы также знаем, что \( \angle ACB = \angle ABC + \angle BAC = 90° \).
• Переформулируем данные:
• \( \angle HCM = 80° \)
• \( \angle BHC = 90° \)
• \( BM = MA \) (M - середина AB)
• \( \angle ACB = 90° \)
• Вычислим углы:
• В \( \triangle BHC \): \( \angle HBC + \angle BCH = 90° \).
• Поскольку \( BM = MA = MC \), то \( \triangle BMC \) - равнобедренный, следовательно \( \angle MBC = \angle MCB \).
• \( \angle ACB = 90° \).
• \( \angle ABC = \angle HBC \).
• \( \angle BAC = \angle MAC \).
• Из \( \triangle BHC \) мы знаем, что \( \angle BCH + \angle HBC = 90° \).
• Мы также знаем, что \( \angle BCH = \angle BCM + \angle HCM \).
• У нас есть \( \angle HCM = 80° \).
• Если \( \angle BCM = \angle HBC \), то \( \angle BCH = \angle HBC + 80° \).
• Подставляем в \( \angle BCH + \angle HBC = 90° \): \( (\angle HBC + 80°) + \angle HBC = 90° \)
• \( 2\angle HBC + 80° = 90° \)
• \( 2\angle HBC = 10° \)
• \( \angle HBC = 5° \)
• Значит, \( \angle ABC = 5° \).
• Теперь найдем \( \angle BAC \). В \( \triangle ABC \): \( \angle BAC = 90° - \angle ABC = 90° - 5° = 85° \).
• Проверим условие BM=MA.
• В \( \triangle AMC \), \( AM = MC \). \( \angle MAC = \angle MCA = 85° \).
• \( \angle AMC = 180° - (85° + 85°) = 180° - 170° = 10° \).
• \( \angle BMC = 180° - \angle AMC = 180° - 10° = 170° \).
• \( \angle MBC = \angle MCB \). \( 2\angle MBC + 170° = 180° \)
• \( 2\angle MBC = 10° \)
• \( \angle MBC = 5° \).
• Это совпадает с \( \angle ABC = 5° \).
• Найдем \( \angle BCH \): \( \angle BCH = \angle BCM + \angle HCM \).
• \( \angle BCM = \angle MBC = 5° \).
• \( \angle BCH = 5° + 80° = 85° \).
• В \( \triangle BHC \): \( \angle HBC + \angle BCH = 5° + 85° = 90° \). Все верно.

Ответ: &angr;B = 5°, &angr;A = 85°.