Дано: ΔKPR, PR = RK; ∠PRH = ∠KRH. Докажите: а) ∠PHR = 90°; б) точка H — середина отрезка PK.

По рисунку точка H лежит на отрезке PK.

1. Рассмотрим ΔPRH и ΔKRH. PR = RK по условию, RH — общая сторона, ∠PRH = ∠KRH по условию. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

   Отсюда ∠PHR = ∠KHR. Поскольку P, H, K лежат на одной прямой, эти углы смежные и в сумме дают 180°. Равные смежные углы равны по 90°, поэтому ∠PHR = 90°.

2. Из равенства треугольников следует PH = HK. Так как H лежит на PK, точка H — середина отрезка PK.