Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y"-4y'+5y=0. Решите это уравнение.

Решение:

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: \( y'' - 4y' + 5y = 0 \).

1. Составим характеристическое уравнение: \( k^2 - 4k + 5 = 0 \).
2. Найдем корни характеристического уравнения. Дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \).
3. Так как дискриминант отрицательный, корни являются комплексными: \( k = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i \).
4. Корни имеют вид \( k = \alpha \pm \beta i \), где \( \alpha = 2 \) и \( \beta = 1 \).
5. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: \( y = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) \).
6. Подставляем значения \( \alpha \) и \( \beta \): \( y = e^{2x} (C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) \).

Ответ: \( y = C_1e^{2x}\cos x + C_2e^{2x}\sin x \).