Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y"+y'-2y=0. Приведите решение данного уравнения. Тип ответа: Одиночный выбор с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Составим характеристическое уравнение, заменив y'' на k², y' на k, а y на 1: \[k^2 + k - 2 = 0\]
• Шаг 2: Решим квадратное уравнение: \[k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] В нашем случае a = 1, b = 1, c = -2, следовательно: \[k = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}\] Получаем два корня: \[k_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\] \[k_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2\]
• Шаг 3: Запишем общее решение дифференциального уравнения, используя найденные корни: \[y = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}\] Подставляем найденные значения k₁ и k₂: \[y = C_1e^{1x} + C_2e^{-2x}\] \[y = C_1e^{x} + C_2e^{-2x}\]

Ответ: y=C₁eˣ+C₂e⁻²ˣ