Дано: МЕ = b, ∠MPE = β. Найти: МР и РА.

Решение:

На рисунке 3 изображен равнобедренный треугольник \( \triangle MPE \), где \( MP = PE \). Отрезок \( PA \) является высотой, медианой и биссектрисой, так как \( \triangle MPE \) равнобедренный и \( PA \) проведена к основанию \( ME \) и делит его пополам (отмечено штрихами).

Рассмотрим \( \triangle MPA \). Он является прямоугольным, так как \( PA \) — высота.

В \( \triangle MPE \), \( PA \) является биссектрисой угла \( \triangle MPE \), поэтому \( \triangle MPA = \triangle EPA \). Следовательно, \( \triangle MPA = \triangle EPA \).

В \( \triangle MPA \):

1. \( \frac{MA}{MP} = \text{cos}(\triangle MPA) \)
2. \( \frac{PA}{MP} = \text{sin}(\triangle MPA) \)

Из условия, \( ME = b \). Так как \( \triangle MPE \) равнобедренный и \( PA \) — медиана, то \( MA = AE = \frac{b}{2} \).

Угол \( \triangle MPE = \beta \). Так как \( PA \) — биссектриса, то \( \triangle MPA = \triangle EPA = \frac{\beta}{2} \).

В прямоугольном \( \triangle MPA \):

• \( MA = MP \tan(\frac{\beta}{2}) \)
• \( PA = MP \text{cos}(\frac{\beta}{2}) \)

Мы знаем, что \( MA = \frac{b}{2} \).

\( \frac{b}{2} = MP \tan(\frac{\beta}{2}) \)

\( MP = \frac{b}{2 \tan(\frac{\beta}{2})} = \frac{b}{2} \text{ctg}(\frac{\beta}{2}) \)

Теперь найдем \( PA \):

\( PA = MP \text{cos}(\frac{\beta}{2}) = \frac{b}{2} \text{ctg}(\frac{\beta}{2}) \text{cos}(\frac{\beta}{2}) = \frac{b}{2} \frac{\text{cos}(\frac{\beta}{2})}{\text{sin}(\frac{\beta}{2})} \text{cos}(\frac{\beta}{2}) = \frac{b \text{cos}^2(\frac{\beta}{2})}{2 \text{sin}(\frac{\beta}{2})} \)

Также можно использовать формулу \( PA = MA \text{ctg}(\frac{\beta}{2}) \).

\( PA = \frac{b}{2} \text{ctg}(\frac{\beta}{2}) \)

Ответ: MP = \( \frac{b}{2} \text{ctg}(\frac{\beta}{2}) \), PA = \( \frac{b}{2} \text{ctg}(\frac{\beta}{2}) \).