4 Дано: МК = 17, CN = 10, MD = DN Найти: СК

Треугольник MKN, CD - высота, MD = DN, следовательно, CD - медиана и высота, значит, треугольник MKN - равнобедренный, MK = KN = 17.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDN, по теореме Пифагора, $$CD = \sqrt{CN^2 - DN^2}$$, $$DN = \frac{1}{2} MN$$.

Пусть DN = x, тогда $$CD = \sqrt{100 - x^2}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDK, по теореме Пифагора, $$CK = \sqrt{CD^2 + DK^2}$$, DK = KN - DN = 17 - x.

$$CK = \sqrt{100 - x^2 + (17 - x)^2} = \sqrt{100 - x^2 + 289 - 34x + x^2} = \sqrt{389 - 34x}$$.

Так как треугольник MKN равнобедренный, то CD является также медианой, следовательно, MC = CN = 10.

Рассмотрим треугольник MCD, по теореме Пифагора, $$MC^2 = MD^2 + CD^2$$, $$100 = x^2 + CD^2$$, $$CD^2 = 100 - x^2$$.

Рассмотрим треугольник MKC, по теореме Пифагора, $$MK^2 = MC^2 + CK^2$$, $$17^2 = 10^2 + CK^2$$, $$CK^2 = 289 - 100 = 189$$, $$CK = \sqrt{189} = 3\sqrt{21}$$.

Ответ: $$3\sqrt{21}$$