Дано: MLNK — прямоугольник; MP, KR — биссектрисы; LN = 12 см; LP = PR = RN. Найти: SMLNK.

Решение:

MLNK — прямоугольник, значит, углы L, M, N, K равны 90°.

MP — биссектриса угла LMK. Так как ∠LMK = 90°, то ∠LMP = ∠PMK = 45°.

KR — биссектриса угла LKN. Так как ∠LKN = 90°, то ∠LKR = ∠RKN = 45°.

Рассмотрим △LMP. ∠MLP = 90°, ∠LMP = 45°. Следовательно, ∠MPL = 180° - 90° - 45° = 45°.

Так как ∠LMP = ∠MPL = 45°, то △LMP — равнобедренный. Следовательно, LM = LP.

Рассмотрим △RKN. ∠LKN = 90°, ∠RKN = 45°. Следовательно, ∠KR N = 180° - 90° - 45° = 45°.

Так как ∠LKN = ∠KR N = 45°, то △RKN — равнобедренный. Следовательно, LN = RN.

В прямоугольнике MLNK противоположные стороны равны: LM = NK и ML = NK. Также LN = MK.

Из условия задачи известно, что LN = 12 см, следовательно, MK = 12 см.

Из равенства треугольников: LM = LP, NK = RN.

Мы знаем, что LP = PR = RN.

Тогда LM = LP, и RN = NK. Значит, LM = LP = PR = RN = NK.

Поскольку MK = 12 см, а MK = LP + PR + RN, то 12 = LP + PR + RN. Так как LP = PR = RN, то 12 = 3 * LP. Отсюда LP = 12 / 3 = 4 см.

Значит, LM = 4 см.

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника MLNK:

SMLNK = LM * LN = 4 см * 12 см = 48 см².

Ответ: 48 см²