Дано: $$MO \perp (ABC)$$, $$MA = \sqrt{21}$$, $$AB=6$$, $$\triangle ABC$$ - правильный. Найти: $$\angle MKB$$, $$MK$$ сторону.

Дано: $$MO \perp (ABC)$$, $$MA = \sqrt{21}$$, $$AB=6$$, $$\triangle ABC$$ - правильный.

Найти: $$\angle MKB$$, $$MK$$ сторону.

1. Так как $$\triangle ABC$$ - правильный, то $$AB = BC = AC = 6$$.
2. $$MO \perp (ABC)$$, значит, $$MO$$ - высота пирамиды.
3. $$MO$$ - высота, следовательно, $$\triangle MOA$$ - прямоугольный. По теореме Пифагора: $$MA^2 = MO^2 + AO^2$$. Отсюда $$MO = \sqrt{MA^2 - AO^2}$$.
4. Так как $$\triangle ABC$$ - правильный, то центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан. $$AO = \frac{2}{3}AM$$, где $$AM$$ - медиана $$\triangle ABC$$.
5. В правильном треугольнике медиана является высотой и биссектрисой. $$AM = \frac{\sqrt{3}}{2}AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3}$$.
6. $$AO = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$.
7. $$MO = \sqrt{(\sqrt{21})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{21 - 12} = \sqrt{9} = 3$$.
8. Так как $$K$$ - середина $$AB$$, то $$BK = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$$.
9. $$ \triangle MOB$$ - прямоугольный. $$MB = \sqrt{MO^2 + OB^2}$$. $$OB = AO = 2\sqrt{3}$$. $$MB = \sqrt{3^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 12} = \sqrt{21}$$.
10. $$ \triangle MKB$$: $$MK = \sqrt{MB^2 - BK^2} = \sqrt{(\sqrt{21})^2 - 3^2} = \sqrt{21 - 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$.
11. $$tg \angle MKB = \frac{MB}{BK} = \frac{3}{3} = 1$$. Значит, $$\angle MKB = arctg(1) = 45^\circ$$.

Ответ: $$MK = 2\sqrt{3}$$, $$\angle MKB = 45^\circ$$