Дано: $$O$$ - центр окружности, вписанной в трапецию $$ABCD$$, $$AD = BC$$, $$CD = 9$$, $$AB = 16$$, $$ME = 10$$. Найти $$OM$$.

Поскольку трапеция $$ABCD$$ является равнобедренной и в неё вписана окружность, то высоты, опущенные из вершин $$C$$ и $$D$$ на основание $$AB$$, разбивают основание на три отрезка, средний из которых равен меньшему основанию $$CD$$.

Пусть $$CH$$ - высота трапеции, тогда $$AH = (AB - CD) / 2 = (16 - 9) / 2 = 7/2 = 3.5$$.

Так как в трапецию вписана окружность, то $$AB + CD = AD + BC$$. Поскольку $$AD = BC$$, то $$2AD = AB + CD$$, откуда $$AD = (AB + CD) / 2 = (16 + 9) / 2 = 25/2 = 12.5$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. По теореме Пифагора, $$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2}$$. Чтобы найти $$AC$$, рассмотрим треугольник, образованный диагональю трапеции $$AC$$, боковой стороной $$CD$$ и меньшим основанием $$AD$$. Но нам это не нужно, так как высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

Найдем высоту $$CH$$ трапеции. Так как в трапецию вписана окружность, то высота равна диаметру окружности, а радиус равен $$ME = 10$$, тогда $$CH = 2 cdot ME = 2 cdot 10 = 20$$.

Теперь найдем $$AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{(3.5)^2 + 20^2} = \sqrt{12.25 + 400} = \sqrt{412.25} = 20.304$$

Точка $$O$$ является центром вписанной окружности. Пусть $$M$$ - точка на высоте, опущенной из вершины $$C$$ к основанию $$AB$$, причем $$OM$$ перпендикулярна $$CH$$. Тогда $$OM$$ - это радиус окружности, $$OM = ME = 10$$.

Ответ: $$OM = 10$$