Дано: O(r), AB и AC - касательные; B и C - точки касания, <OAB=30°, AB=5 см. Найти: BC

Решение:

1. Анализ условия:

• Дано, что AB и AC — касательные к окружности с центром O.
• B и C — точки касания.
• Угол OAB равен 30°.
• Длина отрезка AB равна 5 см.
• Необходимо найти длину отрезка BC.

2. Геометрические свойства:

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, OB ⊥ AB и OC ⊥ AC.
• Треугольники OAB и OAC являются прямоугольными.
• AB = AC (свойство касательных, проведенных из одной точки).
• OB = OC = r (радиусы окружности).
• Треугольники OAB и OAC равны по гипотенузе и катету (по теореме Пифагора: OA² = OB² + AB² = OC² + AC²).
• Угол OAB = Угол OAC = 30°.

3. Вычисление угла AOB:

• В прямоугольном треугольнике OAB:
• \[ \angle AOB + \angle OAB = 90° \]
• \[ \angle AOB = 90° - \angle OAB = 90° - 30° = 60° \]

4. Вычисление угла BOC:

• Угол BOC = Угол AOB + Угол AOC.
• Так как треугольники OAB и OAC равны, то Угол AOB = Угол AOC.
• \[ \angle BOC = 2 \cdot \angle AOB = 2 \cdot 60° = 120° \]

5. Нахождение длины BC:

• Рассмотрим треугольник OBC. Он равнобедренный, так как OB = OC = r.
• Угол BOC = 120°.
• Применим теорему косинусов к треугольнику OBC:
• \[ BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle BOC) \]
• \[ BC^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos(120°) \]
• \[ BC^2 = 2r^2 - 2r^2 \cdot (-1/2) \]
• \[ BC^2 = 2r^2 + r^2 = 3r^2 \]
• \[ BC = \sqrt{3r^2} = r\sqrt{3} \]

6. Нахождение радиуса r:

• В прямоугольном треугольнике OAB:
• \[ \sin(\angle OAB) = \frac{OB}{OA} \]
• \[ \sin(30°) = \frac{r}{OA} \]
• \[ 1/2 = \frac{r}{OA} \]
• \[ OA = 2r \]
• По теореме Пифагора:
• \[ OA^2 = OB^2 + AB^2 \]
• \[ (2r)^2 = r^2 + 5^2 \]
• \[ 4r^2 = r^2 + 25 \]
• \[ 3r^2 = 25 \]
• \[ r^2 = 25/3 \]
• \[ r = \sqrt{25/3} = 5/\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]

7. Окончательное вычисление BC:

• \[ BC = r\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{5 \cdot 3}{3} = 5 \]