Дано: ∠OAC = 50°. Вычисли: ∠OBA = ?, ∠COA = ?

Геометрия — это круто! Давай разберёмся с этой задачей пошагово.

Дано:

• Окружность с центром в точке O.
• Точки A, B, C на окружности.
• AC — хорда.
• AB — касательная к окружности в точке B.
• \[ \angle OAC = 50^{\circ} \]

Найти:

• \[ \angle OBA \]
• \[ \angle COA \]

Решение:

• Находим ∠OBA:
  • Рассмотрим треугольник OAC. Так как OA и OC — радиусы окружности, то OAC — равнобедренный треугольник.
  • Углы при основании равны, значит ∠OCA = ∠OAC = 50°.
  • Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠AOC = 180° - (50° + 50°) = 180° - 100° = 80°.
  • Теперь рассмотрим треугольник OAB. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, ∠OAB = 90°.
  • Угол ∠OAB состоит из двух частей: ∠OAC и ∠CAB. Мы знаем, что ∠OAC = 50°.
  • Получается, ∠CAB = ∠OAB - ∠OAC = 90° - 50° = 40°.
  • Так как OA — радиус, то △OAB — равнобедренный (OA = OB).
  • Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому ∠OBA = ∠OAB.
  • Внимание! Мы нашли ∠OAB = 90°, но это неверно. У нас есть ∠OAC = 50°, а касательная AB перпендикулярна радиусу OB, то есть ∠OBA = 90°.
  • В равнобедренном △OAB (OA=OB - радиусы): ∠OAB = ∠OBA.
  • Чтобы найти ∠OBA, нам нужно знать ∠OAB.
  • Давайте пересмотрим: ∠OAC = 50°. OA и OC — радиусы, △OAC — равнобедренный. ∠OCA = ∠OAC = 50°.
  • ∠AOC = 180° - (50° + 50°) = 80°.
  • Теперь вернемся к ∠OBA. Касательная AB перпендикулярна радиусу OB. Следовательно, ∠OBA = 90°.
  • Это было быстро!
• Находим ∠COA:
  • Этот угол мы уже нашли, когда рассматривали △OAC.
  • ∠AOC = 80°.

Ответ:

• ∠OBA = 90°
• ∠COA = 80°