Дано обыкновенное дифференциальное равнение первого порядка: y' + y/x = x²y⁴. Приведите решение данного уравнения.

Пошаговое решение:

1. Преобразуем уравнение:

   Дано уравнение: \( y' + \frac{y}{x} = x^2 y^4 \). Это уравнение типа Бернулли.

2. Замена переменной:

   Сделаем замену \( z = y^{1-n} \), где \( n = 4 \) (степень \( y \) в правой части). Таким образом, \( z = y^{1-4} = y^{-3} \).

   Найдем производную \( z' \) по \( x \):

   \( z' = -3 y^{-4} y' \)

   Отсюда \( y' = -\frac{1}{3} y^4 z' \).

3. Подставим в исходное уравнение:

   \( -\frac{1}{3} y^4 z' + \frac{y}{x} = x^2 y^4 \)

   Разделим все члены на \( y^4 \) (при условии \( y eq 0 \)):

   \[ -\frac{1}{3} z' + \frac{1}{x y^3} = x^2 \]

   Заменим \( y^{-3} \) на \( z \):

   \[ -\frac{1}{3} z' + \frac{z}{x} = x^2 \]

   Умножим все на -3, чтобы получить стандартный вид линейного уравнения первого порядка:

   \[ z' - \frac{3}{x} z = -3x^2 \]

4. Решаем линейное уравнение первого порядка:

   Используем метод интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель \( μ(x) \) равен:

   \[ μ(x) = e^{\int P(x) dx} \]

   Здесь \( P(x) = -\frac{3}{x} \).

   \[ μ(x) = e^{\int -\frac{3}{x} dx} = e^{-3 \ln|x|} = e^{\ln|x|^{-3}} = |x|^{-3} \]

   Будем считать \( x > 0 \), тогда \( μ(x) = x^{-3} = \frac{1}{x^3} \).

   Умножим уравнение на интегрирующий множитель:

   \[ \frac{1}{x^3} z' - \frac{3}{x^4} z = -3x^2 \cdot \frac{1}{x^3} \]

   \[ \frac{1}{x^3} z' - \frac{3}{x^4} z = -\frac{3}{x} \]

   Левая часть является производной от произведения \( z μ(x) \):

   \[ \frac{d}{dx} \left( z \cdot \frac{1}{x^3} \right) = -\frac{3}{x} \]

5. Интегрируем обе части:

   \[ \int \frac{d}{dx} \left( z \cdot \frac{1}{x^3} \right) dx = \int -\frac{3}{x} dx \]

   \[ z \cdot \frac{1}{x^3} = -3 \ln|x| + C \]

   \[ z = x^3 (-3 \ln|x| + C) \]

6. Возвращаемся к исходной переменной:

   Вспомним, что \( z = y^{-3} = \frac{1}{y^3} \).

   \[ \frac{1}{y^3} = x^3 (C - 3 \ln|x|) \]

   \[ y^3 = \frac{1}{x^3 (C - 3 \ln|x|)} \]

   \[ y = \left( \frac{1}{x^3 (C - 3 \ln|x|)} \right)^{1/3} \]

   \[ y = \frac{1}{x \sqrt[3]{C - 3 \ln|x|}} \]

Ответ:
\( y = \frac{1}{x \sqrt[3]{C - 3 \ln|x|}} \)