Дано: окружность O, AB - диаметр, CD перпендикулярна AB. Доказать: CD средняя пропорциональное для AB. Доказательство. ∠ACB - вписанный. ∠ACB = 90°

Доказательство:

• ∠ACB — вписанный угол, опирающийся на диаметр AB. Значит, ∠ACB = 90°.
• CD — высота, проведенная к гипотенузе AB в прямоугольном треугольнике ACB.
• Рассмотрим треугольники \(\triangle ADC\) и \(\triangle CDB\):
  • ∠ADC = 90° и ∠CDB = 90° (CD — высота).
  • ∠ACD = 90° - ∠A, и ∠BCD = 90° - ∠B. Так как \(\triangle ABC\) - прямоугольный, то ∠A + ∠B = 90°, следовательно, ∠A = 90° - ∠B.
  • Таким образом, ∠ACD = ∠B.
• Значит, \(\triangle ADC \sim \triangle CDB\) (по двум углам).
• Из подобия треугольников следует пропорция: \(\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB}\).
• Отсюда: \[CD^2 = AD \cdot DB\] и \[CD = \sqrt{AD \cdot DB}\]
• Следовательно, CD является средним пропорциональным между AD и DB, что и требовалось доказать.