Дано: плоскости AMB и ВМС перпендикулярны плоскости ABC. Доказать: прямая МВ перпендикулярна плоскости ABC.

Решение:

1. Плоскости \(AMB\) и \(ВМС\) перпендикулярны плоскости \(ABC\).

2. Линией пересечения плоскостей \(AMB\) и \(ABC\) является прямая \(AB\).

3. Линией пересечения плоскостей \(ВМС\) и \(ABC\) является прямая \(BC\).

4. Пусть \(MB\) — линия пересечения плоскостей \(AMB\) и \(ВМС\).

5. По условию, плоскости \(AMB\) и \(ВМС\) перпендикулярны плоскости \(ABC\). Это означает, что любая прямая, лежащая в одной из перпендикулярных плоскостей и проходящая через линию их пересечения, перпендикулярна другой плоскости.

6. Так как \(AB\) — линия пересечения плоскостей \(AMB\) и \(ABC\), и \(MB\) лежит в плоскости \(AMB\) и перпендикулярна \(AB\) (это следует из определения перпендикулярных плоскостей, где прямая в одной плоскости, перпендикулярная линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости), то \(MB \perp AB\).

7. Аналогично, так как \(BC\) — линия пересечения плоскостей \(ВМС\) и \(ABC\), и \(MB\) лежит в плоскости \(ВМС\) и перпендикулярна \(BC\), то \(MB \perp BC\).

8. Поскольку прямая \(MB\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(BC\) в плоскости \(ABC\), то \(MB\) перпендикулярна плоскости \(ABC\).

Доказано: прямая MB перпендикулярна плоскости ABC.