Дано: прямоугольный треугольник ABC, ∠B = 90°, AB = 40, AC = 41. Найти sin∠A, cos∠A, tg∠A, sin∠C, cos∠C, tg∠C.

Так как ∠B = 90°, гипотенуза — AC = 41.

По теореме Пифагора найдём катет BC:

\[BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{41^2-40^2}=\sqrt{1681-1600}=9.\]

Для угла A: противолежащий катет — BC = 9, прилежащий — AB = 40.

\[\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{9}{41},\qquad \cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{40}{41},\qquad g A=\frac{BC}{AB}=\frac{9}{40}.\]

Для угла C: противолежащий катет — AB = 40, прилежащий — BC = 9.

\[\sin C=\frac{AB}{AC}=\frac{40}{41},\qquad \cos C=\frac{BC}{AC}=\frac{9}{41},\qquad g C=\frac{AB}{BC}=\frac{40}{9}.\]

Ответ: \(\sin A=\frac{9}{41}\), \(\cos A=\frac{40}{41}\), \( g A=\frac{9}{40}\); \(\sin C=\frac{40}{41}\), \(\cos C=\frac{9}{41}\), \( g C=\frac{40}{9}\).