1. Дано: РЕ || НК, MP = 8, ΜΗ =12, ΜΕ = 6. Найти: а) МК; б) РЕ: НК; в) отношение площадей треугольников МЕР и МКН. 2. В ДАВС АВ=12см, ВС = 18см, <В = 70°, а в ДМНК МН = 6см, НК = 9см, <Н = 70°. Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МК = 7см, <К = 60°. 3. Отрезки АВ и СД пересекаются в точке О так, что <ACO = <ВДО, АО : ОВ = 2 : 3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника ВОД равен 21 см. 4. В трапеции АВСД (АД и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О, площадь ДАОД равна 32см², а площадь ДВОС равна 8см². Найдите меньшее основание трапеции, если большее равно 10см. 5. Диагонали ромба АВСД пересекаются в точке О. На стороне АВ взята точка К так, что ОК перпендикулярно АВ, АК = 2см, ВК = 8см. Найдите диагонали ромба.

Задача 1

а) Найдем MK:

Так как PE || HK, то треугольники MPE и MHK подобны. Значит, можем записать пропорцию:

\[\frac{MP}{MH} = \frac{ME}{MK}\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{8}{12} = \frac{6}{MK}\]

Решаем пропорцию:

\[MK = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9\]

Ответ: MK = 9

б) Найдем отношение PE : HK:

Так как треугольники подобны, то отношение сторон PE и HK равно отношению MP к MH:

\[\frac{PE}{HK} = \frac{MP}{MH} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\]

Ответ: PE : HK = 2 : 3

в) Найдем отношение площадей треугольников MEP и MKH:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия равен отношению сторон, то есть 2/3. Тогда отношение площадей:

\[\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

Ответ: Отношение площадей = 4 : 9

Задача 2

Найдем сторону AC:

В треугольнике ABC по теореме косинусов:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(B)\]

Подставляем известные значения:

\[AC^2 = 12^2 + 18^2 - 2 \cdot 12 \cdot 18 \cdot cos(70^\circ)\] \[AC^2 = 144 + 324 - 432 \cdot 0.342\] \[AC^2 = 468 - 147.744 = 320.256\] \[AC = \sqrt{320.256} \approx 17.896\]

Ответ: AC \(\approx\) 17.9 см

Найдем угол C:

Треугольники ABC и MHK подобны по двум углам (угол B = углу H = 70°, угол K = 60°). Значит, угол A = углу M.

Найдем угол A в треугольнике MHK:

\[\angle M = 180^\circ - \angle H - \angle K = 180^\circ - 70^\circ - 60^\circ = 50^\circ\]

Следовательно, угол A в треугольнике ABC равен 50°.

Найдем угол C в треугольнике ABC:

\[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ\]

Ответ: ∠C = 60°

Задача 3

Так как \(\angle ACO = \angle BDO\), то треугольники ACO и BDO подобны. АО : ОВ = 2 : 3. Пусть AO = 2x, OB = 3x.

Периметр треугольника BOD равен 21 см. Пусть BD = a, OD = b, OB = 3x. Тогда:

\[a + b + 3x = 21\]

Так как треугольники подобны, то соответствующие стороны пропорциональны:

\[\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{2}{3}\]

Пусть CO = 2y, DO = 3y. Тогда периметр треугольника ACO равен AC + CO + AO.

Выразим AC и CO через BD и DO:

\[AC = \frac{2}{3}BD = \frac{2}{3}a, CO = \frac{2}{3}DO = \frac{2}{3}b\]

Периметр треугольника ACO равен:

\[P_{ACO} = AC + CO + AO = \frac{2}{3}a + \frac{2}{3}b + 2x = \frac{2}{3}(a + b) + 2x\]

Выразим (a + b) через известные значения:

\[a + b = 21 - 3x\] \[P_{ACO} = \frac{2}{3}(21 - 3x) + 2x = 14 - 2x + 2x = 14\]

Ответ: Периметр треугольника ACO равен 14 см.

Задача 4

В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке O. Площадь \(\triangle AOD = 32\) см², площадь \(\triangle BOC = 8\) см². Большее основание равно 10 см.

Треугольники AOD и BOC подобны, так как AD || BC. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2\] \[k^2 = \frac{32}{8} = 4\] \[k = \sqrt{4} = 2\]

Коэффициент подобия равен 2. Значит, \(\frac{AD}{BC} = 2\). Так как AD - большее основание, то AD = 10 см. Тогда:

\[\frac{10}{BC} = 2\] \[BC = \frac{10}{2} = 5\]

Ответ: Меньшее основание трапеции равно 5 см.

Задача 5

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. OK перпендикулярно AB, AK = 2 см, BK = 8 см. Значит, сторона ромба AB = AK + BK = 2 + 8 = 10 см.

Так как диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам, то \(\triangle AOK\) - прямоугольный.

В ромбе диагонали являются биссектрисами углов и перпендикулярны друг другу, то есть \(\angle AOK = 90^\circ\). Тогда по теореме Пифагора:

\[OK^2 + AK^2 = AO^2\]

Нужно найти OK. Рассмотрим \(\triangle OKB\):

В \(\triangle OKB\) : \(OK^2 + KB^2 = OB^2\)

Пусть AO = x, BO = y. Тогда \(x^2 = OK^2 + 4\), \(y^2 = OK^2 + 64\). Так как диагонали ромба перпендикулярны, то \(\triangle AOB\) - прямоугольный, и \(AB^2 = AO^2 + OB^2\):

\[10^2 = x^2 + y^2\] \[100 = OK^2 + 4 + OK^2 + 64\] \[2OK^2 = 100 - 68 = 32\] \[OK^2 = 16\] \[OK = 4\]

Теперь найдем AO и BO:

\[AO = \sqrt{OK^2 + AK^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\] \[BO = \sqrt{OK^2 + BK^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\]

Тогда диагонали ромба равны:

\[AC = 2AO = 4\sqrt{5}\] \[BD = 2BO = 8\sqrt{5}\]

Ответ: Диагонали ромба равны \(4\sqrt{5}\) см и \(8\sqrt{5}\) см.