1. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55). Найти: а) МК; 6) PE : NK; B) SMPE: SMNK

Решение:

а) Рассмотрим подобные треугольники MPE и MNK (т.к. PE || NK).

Составим отношение сторон:

$$ \frac{ME}{MN} = \frac{MP}{MK} $$

Выразим MK:

$$ MK = \frac{MN \cdot MP}{ME} $$

Подставим значения:

$$ MK = \frac{12 \cdot 8}{6} = \frac{96}{6} = 16 $$

б) Найдем отношение PE : NK.

Т.к. треугольники MPE и MNK подобны, то:

$$ \frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MN} $$

Подставим значения:

$$ \frac{PE}{NK} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$

в) Найдем отношение площадей SMPE : SMNK.

Т.к. треугольники подобны, то отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$ \frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = (\frac{ME}{MN})^2 $$

Подставим значения:

$$ (\frac{6}{12})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $$

Ответ: a) MK = 16; б) PE : NK = 1 : 2; в) SMPE : SMNK = 1 : 4