Дано: Рис. $$\angle AOC = 116^{\circ}$$. Найти: $$\angle OBC$$.

Решение:

Данная задача относится к теме "Центральные и вписанные углы" из курса геометрии 8 класса.

1. Центральный угол и дуга:

• Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре круга, а стороны пересекают окружность.
• Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается.
• Так как $$\angle AOC = 116^{\circ}$$, то и дуга $$AC$$ (малая) равна $$116^{\circ}$$.

2. Вписанный угол и дуга:

• Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
• Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.
• Угол $$\angle ABC$$ — вписанный, он опирается на дугу $$AC$$.
• Следовательно, $$\angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуги } AC = \frac{1}{2} \times 116^{\circ} = 58^{\circ}$$.

3. Треугольник $$\triangle OBC$$:

• $$OB$$ и $$OC$$ — радиусы окружности, поэтому $$OB = OC$$.
• Треугольник $$\triangle OBC$$ — равнобедренный.
• Сумма углов в треугольнике равна $$180^{\circ}$$.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $$\angle OBC = \angle OCB$$.
• Мы знаем, что $$\angle BOC$$ — центральный угол, который опирается на дугу $$BC$$.
• Дуга $$BC$$ = $$360^{\circ} - ext{дуга } AC - ext{дуга } AB$$.
• Однако, нам не дана информация об угле $$\angle BOC$$ или дуге $$BC$$.
• Но мы можем использовать тот факт, что $$\angle AOC = 116^{\circ}$$ и $$\angle ABC = 58^{\circ}$$.
• Рассмотрим треугольник $$\triangle AOC$$. $$OA=OC$$ (радиусы), значит $$\triangle AOC$$ — равнобедренный.
• $$\angle OAC = \angle OCA = \frac{180^{\circ} - 116^{\circ}}{2} = \frac{64^{\circ}}{2} = 32^{\circ}$$.
• Рассмотрим треугольник $$\triangle AOB$$. $$OA=OB$$ (радиусы), значит $$\triangle AOB$$ — равнобедренный.
• $$\angle BAC$$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $$BC$$.
• $$\angle BOC$$ - центральный угол, опирающийся на дугу $$BC$$.
• $$\angle ABC = 58^{\circ}$$
• $$\angle BAC = 32^{\circ}$$ (из $$\triangle AOC$$)
• В $$\triangle ABC$$: $$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$$
• $$32^{\circ} + 58^{\circ} + \angle ACB = 180^{\circ}$$
• $$90^{\circ} + \angle ACB = 180^{\circ}$$
• $$\angle ACB = 90^{\circ}$$.
• $$\angle ACB = \angle ACO + \angle OCB$$
• $$90^{\circ} = 32^{\circ} + \angle OCB$$
• $$\angle OCB = 90^{\circ} - 32^{\circ} = 58^{\circ}$$.
• Так как $$\triangle OBC$$ — равнобедренный, то $$\angle OBC = \angle OCB = 58^{\circ}$$.

Альтернативное решение (через центральный угол):

• $$ riangle AOB$$ — равнобедренный ($$OA=OB$$).
• $$ riangle AOC$$ — равнобедренный ($$OA=OC$$).
• $$ riangle OBC$$ — равнобедренный ($$OB=OC$$).
• $$ riangle ABC$$ — вписанный треугольник.
• $$ riangle AOC = 116^{\circ}$$.
• $$ riangle ABC = 58^{\circ}$$ (вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный $$\angle AOC$$, но это неверно, $$\angle ABC$$ опирается на дугу $$AC$$, которая равна $$116^{\circ}$$).
• $$ ext{Дуга } AC = 116^{\circ}$$.
• $$ riangle ABC = 116^{\circ} / 2 = 58^{\circ}$$.
• $$ riangle OAC = (180^{\circ} - 116^{\circ})/2 = 32^{\circ}$$.
• $$ riangle BAC = 32^{\circ}$$.
• $$ riangle ABC = 180^{\circ} - ( riangle BAC + riangle ACB)$$.
• $$ riangle ACB = 90^{\circ}$$.
• $$ riangle OBC = riangle OCB$$ (равнобедренный).
• $$ riangle OBC = 90^{\circ} - riangle OAC = 90^{\circ} - 32^{\circ} = 58^{\circ}$$.

Ответ:

58