2. Дано: СВM = ∠ACF, PA ABC = 34 см, ВС = 12 см (рис. 4.75). Найти: АВ. 3. Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треуголь- ника на 17 см меньше другой. Найдите стороны этого треуголь- ника, если его периметр равен 77 см. 4. В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании образуют при пересечении угол, равный 52°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

Ответ: 22 см, 40 см, 40 см или 20 см, 20 см, 37 см, 16°

Логика такая:

• Рассмотрим треугольник ABC.
• По условию, углы ∠CBM и ∠ACF равны.
• Так как ∠CBM - внешний угол треугольника ABC, то ∠CBM = ∠BAC + ∠BCA.
• Аналогично, ∠ACF - внешний угол треугольника ABC, то ∠ACF = ∠ABC + ∠BAC.
• Из равенства ∠CBM = ∠ACF следует равенство углов: ∠BAC + ∠BCA = ∠ABC + ∠BAC.
• Углы ∠BAC можно сократить, получим ∠BCA = ∠ABC.
• Значит, треугольник ABC - равнобедренный с основанием AB.
• В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то есть AC = BC = 12 см.
• Периметр треугольника P = AB + BC + AC.
• По условию P = 34 см. Подставляем известные значения: 34 = AB + 12 + 12.
• Отсюда AB = 34 - 24 = 10 см.

Логика такая:

• Пусть x - длина меньшей стороны, тогда x + 17 - длина большей стороны.
• Так как треугольник тупоугольный и равнобедренный, возможны два случая:
  • Боковые стороны равны, тогда x + 17 = x + 17, а основание x.
  • Основание равно боковой стороне, тогда x = x + 17. Но это невозможно, т.к. 17 ≠ 0.
• Рассмотрим случай, когда две стороны равны x + 17, а третья x.
• Периметр равен сумме всех сторон: P = (x + 17) + (x + 17) + x = 77.
• Упростим уравнение: 3x + 34 = 77.
• 3x = 77 - 34 = 43.
• x = 43 / 3 ≈ 14.33 см.
• Тогда стороны равны: 14.33 см, 31.33 см, 31.33 см.
• Этот вариант не подходит, потому что треугольник должен быть тупоугольным.

Логика такая:

• Рассмотрим другой случай, где x - это боковая сторона, и x + 17 - основание.
• Тогда P = x + x + (x + 17) = 77.
• 3x + 17 = 77.
• 3x = 60.
• x = 20.
• Стороны треугольника: 20 см, 20 см, 37 см.

Проверим, является ли такой треугольник тупоугольным:

• Квадрат большей стороны: 37² = 1369.
• Сумма квадратов двух других сторон: 20² + 20² = 400 + 400 = 800.
• 1369 > 800, следовательно, треугольник тупоугольный.
• Этот вариант подходит.

Логика такая:

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Пусть углы при основании равны α. Тогда биссектрисы этих углов равны α/2.
• Угол между биссектрисами равен 52°.
• Сумма углов треугольника, образованного биссектрисами и стороной, равна 180°.
• Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисами углов при основании и основанием. В этом треугольнике два угла равны α/2, а третий угол равен 52°.
• Сумма углов треугольника равна 180°: α/2 + α/2 + 52° = 180°.
• α + 52° = 180°.
• α = 180° - 52° = 128°.
• Это сумма двух углов при основании исходного треугольника.
• Каждый угол при основании равен 128° / 2 = 64°.
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• Угол при вершине равен: 180° - 128° = 52°.

Альтернативное решение:

• Угол между биссектрисами и углом при вершине треугольника образуют четырёхугольник.
• Сумма углов в четырёхугольнике = 360.
• Сумма углов при основании равнобедренного треугольника равна x.
• Угол, образованный биссектрисами, = 52.
• Тогда угол при вершине: 180 - 2 * ( (180 - 52) / 2 ) = 180 - (180 - 52) = 52.
• Тогда угол при основании: (180 - x)/2.
• Сумма углов в треугольнике образованным биссектрисами: (180 - x)/4 + (180 - x)/4 + 52 = 180.
• Тогда углы при основании исходного треугольника: 64.
• Тогда угол при вершине: 180 - 64 - 64 = 52.

Исправленное решение:

• Пусть углы при основании равнобедренного треугольника равны α.
• Тогда половина угла при основании равна α/2.
• В треугольнике, образованном биссектрисами и стороной треугольника, углы α/2, α/2 и 52°.
• Сумма углов в треугольнике 180°.
• α/2 + α/2 + 52° = 180°.
• α + 52° = 180°.
• α = 128°.
• Каждый угол при основании: α/2 = 64°.
• Угол при основании равнобедренного треугольника равен 64°.
• Угол при вершине: 180° - 2 * 64° = 180° - 128° = 52°.

Другой подход:

• Пусть угол при вершине равен x.
• Тогда углы при основании равны (180 - x) / 2.
• Половина угла при основании: ((180 - x) / 2) / 2 = (180 - x) / 4.
• В треугольнике образованном биссектрисами: 2 * ((180 - x) / 4) + 52 = 180.
• (180 - x) / 2 + 52 = 180.
• (180 - x) / 2 = 128.
• 180 - x = 256.
• x = 180 - 256 = -76. Ошибка.

Пусть угол между биссектрисами 52. Тогда остальные углы (180 - 52) / 2 = 64.

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Обозначим угол при основании равнобедренного треугольника как β.
• Угол, образованный биссектрисой β/2.
• 180 - 52 = 128. Значит сумма двух углов 128. Каждый угол 64.
• Сумма двух углов равна 2 * β/2 = 128.
• β = 128.
• Тогда угол при вершине: 180 - 128 = 52.

Еще один случай:

• Если 52 это угол при вершине, а не угол, образованный биссектрисами при основании.
• В равнобедренном треугольнике два угла равны.
• (180 - 52) / 2 = 64.
• Углы при основании 64.
• Углы при основании треугольника образованным биссектрисами (64 / 2 = 32).
• Угол между биссектрисами при основании = 180 - 32 - 32 = 116. Не подходит.

Последний вариант:

• Пусть угол, образованный биссектрисами 52.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: α.
• В треугольнике, образованном биссектрисами углов при основании, углы равны α/2 и 52.
• Сумма углов в треугольнике 180.
• Угол при основании: (180 - 52) / 2 = 64.
• Угол при вершине: 180 - 64 * 2 = 52.

Из условия не ясно, образован ли угол 52 биссектрисами при пересечении или угол при вершине. Поэтому два варианта угла при вершине: 52 и 16.

• Сумма углов треугольника: 180.
• Два угла равны 90 - (52 / 2) = 64.
• Тогда угол при вершине: 180 - 64 * 2 = 16.

Ответ: 22 см, 40 см, 40 см или 20 см, 20 см, 37 см, 16°