Дано тетраэдр DABC. Упрости выражение: BC + DB + CD + CA =

Решение:

Для упрощения выражения используем правило сложения векторов, которое гласит, что сумма векторов, исходящих из одной точки, равна вектору, соединяющему эту точку с вершиной, к которой сходятся векторы, если начальные точки векторов совпадают. В данном случае, для удобства, можно воспользоваться правилом треугольника для сложения векторов: вектор AC + вектор CB = вектор AB.

Перегруппируем векторы в данном выражении:

\( \vec{BC} + \vec{DB} + \vec{CD} + \vec{CA} = \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DB} + \vec{CA} \)

Сначала сложим векторы \( \vec{BC} \) и \( \vec{CD} \). По правилу треугольника:

\( \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD} \)

Теперь выражение выглядит так:

\( \vec{BD} + \vec{DB} + \vec{CA} \)

Векторы \( \vec{BD} \) и \( \vec{DB} \) противоположно направлены и равны по длине, поэтому их сумма равна нулевому вектору:

\( \vec{BD} + \vec{DB} = \vec{0} \)

Остается:

\( \vec{0} + \vec{CA} = \vec{CA} \)

Таким образом, упрощенное выражение равно вектору \( \vec{CA} \).

Ответ: CA.