Дано: точки А и В принадлежат плоскостям α и β соответственно, α ⊥ β, A₁B₁ = 9. Найти АВ.

Решение:

По условию задачи, плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) перпендикулярны: \( \alpha \perp \beta \). Точки \( A \) и \( B \) принадлежат этим плоскостям соответственно. \( A_1 \) и \( B_1 \) — проекции точек \( A \) и \( B \) на плоскость \( \alpha \) и \( \beta \) соответственно. Нам известно, что \( A_1 B_1 = 9 \) см. Также из рисунка видно, что \( AB_1 = 12 \) см и \( A_1 B = 15 \) см.

Рассмотрим треугольник \( AB_1A_1 \). Так как \( \alpha \perp \beta \), то \( AA_1 \) перпендикулярна плоскости \( \beta \). Следовательно, \( AA_1 \) перпендикулярна \( AB_1 \). Таким образом, \( \triangle AB_1A_1 \) — прямоугольный с прямым углом \( \angle AA_1B_1 \).

По теореме Пифагора для \( \triangle AB_1A_1 \):

\[ AB_1^2 = AA_1^2 + A_1B_1^2 \] \( 12^2 = AA_1^2 + 9^2 \) \( 144 = AA_1^2 + 81 \) \( AA_1^2 = 144 - 81 = 63 \) \( AA_1 = \sqrt{63} \) см.

Теперь рассмотрим треугольник \( ABA_1 \). Так как \( AA_1 \) перпендикулярна плоскости \( \beta \), то \( AA_1 \) перпендикулярна \( A_1B \). Следовательно, \( \triangle ABA_1 \) — прямоугольный с прямым углом \( \angle AA_1B \).

По теореме Пифагора для \( \triangle ABA_1 \):

\[ AB^2 = AA_1^2 + A_1B^2 \] \( AB^2 = 63 + 15^2 \) \( AB^2 = 63 + 225 \) \( AB^2 = 288 \) \( AB = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2} \) см.

Ответ: \( 12\sqrt{2} \) см.