Дано: \triangle ABC, AB = BC, M - точка касания вписанной окружности со стороной AB, AM = 5 см, BM = 4 см. Найти: P_{ABC}.

1. Так как AB = BC и M - точка касания вписанной окружности со стороной AB, то AM = AK = 5 см, где K - точка касания со стороной AC. Также BM = BK = 4 см, где K - точка касания со стороной BC.

2. Сторона AB = AM + MB = 5 + 4 = 9 см.

3. Так как AB = BC, то BC = 9 см.

4. Сторона AC = AK + KC. Так как вписанная окружность касается сторон AB, BC, AC в точках M, K, K соответственно, то AM = AK = 5 см, BM = BK = 4 см, CK = BK = 4 см. Следовательно, AC = AK + KC = 5 + 4 = 9 см.

5. Периметр треугольника ABC равен P_{ABC} = AB + BC + AC = 9 + 9 + 9 = 27 см.