Дано: $$\triangle ABC$$, $$BH$$ и $$CP$$ — высоты, $$BH = CP$$. Доказать: $$\triangle ABC$$ — равнобедренный. a) $$\triangle ABC$$ — остроугольный Доказательство. 1) В треугольниках $$BCP$$ и $$CBH$$ сторона $$\underline{\hspace{1cm}}$$ общая, $$CP = \underline{\hspace{1cm}}$$, $$\angle CPB = \angle BHC = 90^{\circ}$$, значит, $$\triangle \underline{\hspace{1cm}} = \triangle CBH$$ (по гипотенузе и катету), поэтому $$\angle BCH = \angle CBH$$. 2) В треугольнике $$ABC$$ $$\angle CBA = \angle \underline{\hspace{1cm}}$$, следовательно, треугольник $$ABC$$ — $$\underline{\hspace{1cm}}$$ (признак $$\underline{\hspace{1cm}}$$ треугольника), что и требовалось доказать. б) $$\triangle ABC$$ — тупоугольный

Решение:

а) $$\triangle ABC$$ — остроугольный

Дано: $$\triangle ABC$$, $$BH$$ и $$CP$$ — высоты, $$BH = CP$$.
Доказать: $$\triangle ABC$$ — равнобедренный.

Доказательство:

1. В треугольниках $$BCP$$ и $$CBH$$ сторона $$\underline{\mathbf{BC}}$$ общая, $$CP = \underline{\mathbf{BH}}$$, $$\angle CPB = \angle BHC = 90^{\circ}$$. Значит, $$\triangle \underline{\mathbf{BCP}} = \triangle CBH$$ (по гипотенузе и катету), поэтому $$\angle BCH = \angle CBH$$.
2. В треугольнике $$ABC$$ $$\angle CBA = \angle \underline{\mathbf{BCA}}$$ (так как $$\angle CBA = \angle CBH$$ и $$\angle BCA = \angle BCH$$), следовательно, треугольник $$ABC$$ — $$\underline{\mathbf{равнобедренный}}$$ (признак $$\underline{\mathbf{равнобедренного}}$$ треугольника), что и требовалось доказать.