Дано: \(\(\triangle\) ABC, FD \(\perp\) AC, PD \(\perp\) AB; CF=FA, AP=PB.\\ Доказать: D- середина BC.

Доказательство:

Рассмотрим \(\triangle AFC\) и \(\triangle AFD\).

1. \( CF=FA \) (по условию).
2. \( FD \perp AC \) (по условию).
3. \( ∠ CFD = ∠ AFD = 90^\circ \) (так как \( FD \perp AC \)).
4. \( FD \) — общая сторона.

По двум катетам и общей стороне, \(\triangle AFC = ≅ ∆AFD \).

Из равенства треугольников следует, что \( ∠ FCD = ∆ FAD \) и \( AC = AD \).

Рассмотрим \(\triangle APB\) и \(\triangle APD\).

1. \( AP=PB \) (по условию).
2. \( PD \perp AB \) (по условию).
3. \( ∠ APD = ∠ BPD = 90^\circ \) (так как \( PD \perp AB \)).
4. \( PD \) — общая сторона.

По двум катетам и общей стороне, \(\triangle APB = ≅ ∆APD \).

Из равенства треугольников следует, что \( ∆ PAB = ∆ PDB \) и \( AB = AD \).

Из \( AC = AD \) и \( AB = AD \) следует, что \( AC = AB \). Таким образом, \(\triangle ABC\) — равнобедренный.

Так как \( FD \perp AC \) и \( PD \perp AB \) и \( AC = AB \), то \( FD \) и \( PD \) являются высотами в равнобедренном треугольнике.

В равнобедренном треугольнике медианы, высоты и биссектрисы, проведенные к основанию, совпадают. Следовательно, \( AD \) является медианой, высотой и биссектрисой \(\triangle ABC\).

Так как \( AD \) — медиана, то \( D \) — середина стороны \( BC \).

Что и требовалось доказать.