Дано: \(\triangle ABC\); MN — средняя линия. \(S_{BMN} = 16 \text{ см}^2\). Найти: \(S_{ABC}\).

Решение:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и делит его пополам. Треугольник \(BMN\) подобен треугольнику \(BAC\) с коэффициентом подобия \(k = \frac{1}{2}\).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{BMN}}{S_{BAC}} = k^2\).

\(\frac{S_{BMN}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).

Следовательно, \(S_{ABC} = 4 \cdot S_{BMN}\).

\(S_{ABC} = 4 \cdot 16 \text{ см}^2 = 64 \text{ см}^2\).

Ответ: \(S_{ABC} = 64 \text{ см}^2\).