Дано: \triangle ABC.\nAB:BC = 11:12.\nНайти: \angle BCA, \angle BAC.

Краткая запись:

• Дано: \triangle ABC.
• AB:BC = 11:12.
• Найти: \angle BCA, \angle BAC.

Решение:

1. Запишем теорему синусов для \triangle ABC:
   \( \frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} \)
2. Подставим известные соотношения:
   Так как \( AB:BC = 11:12 \), можем записать \( AB = 11x \) и \( BC = 12x \) для некоторого \( x > 0 \).
   \( \frac{11x}{\sin(\angle BCA)} = \frac{12x}{\sin(\angle BAC)} \)
3. Упростим выражение:
   \( \frac{11}{\sin(\angle BCA)} = \frac{12}{\sin(\angle BAC)} \)
   \( 11 \sin(\angle BAC) = 12 \sin(\angle BCA) \)
4. Обозначим углы:
   Пусть \( \angle BCA = \alpha \) и \( \angle BAC = \beta \).
   Тогда \( 11 \sin(\beta) = 12 \sin(\alpha) \)
5. Дополнительная информация:
   Из рисунка видно, что \( \angle ABC = 90^\circ \) (так как опирается на диаметр).
   В прямоугольном треугольнике \( \angle BCA + \angle BAC = 90^\circ \), т.е. \( \alpha + \beta = 90^\circ \).
   Отсюда \( \beta = 90^\circ - \alpha \), и \( \sin(\beta) = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) \).
6. Подставим в уравнение:
   \( 11 \cos(\alpha) = 12 \sin(\alpha) \)
7. Найдем тангенс угла \( \alpha \):
   \( \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{11}{12} \)
   \( \tan(\alpha) = \frac{11}{12} \)
8. Найдем \( \alpha \) (т.е. \( \angle BCA \)):
   \( \alpha = \arctan(\frac{11}{12}) \approx 42.51^\circ \)
9. Найдем \( \beta \) (т.е. \( \angle BAC \)):
   \( \beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 42.51^\circ \approx 47.49^\circ \)

Ответ: \( \angle BCA \approx 42.51^\circ, \angle BAC \approx 47.49^\circ \)