Дано! \(\triangle ABC\) — равнобедренный. \(AC\) — основание. \(AC = 20 \text{ см}\). \(AB = BC = 26 \text{ см}\). \(r_{вп.} - ?\), \(R_{on.} - ?\)

Решение:

Задано равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC = 20 \text{ см}\) и боковыми сторонами \(AB = BC = 26 \text{ см}\). Необходимо найти радиус вписанной окружности \(r_{вп.}\) и радиус описанной окружности \(R_{on.}\).

1. Нахождение радиуса вписанной окружности \(r_{вп.}\)

1. Сначала найдём высоту \(BH\) к основанию \(AC\). Так как \(ABC\) — равнобедренный треугольник, высота \(BH\) является также медианой, и \(AH = HC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \text{ см}\).
2. В прямоугольном треугольнике \(ABH\) по теореме Пифагора найдём \(BH\):
   \[ BH = wsqrt{AB^2 - AH^2} = wsqrt{26^2 - 10^2} = wsqrt{676 - 100} = wsqrt{576} = 24 \text{ см}. \]
3. Площадь треугольника \(S\) можно найти как:
   \[ S = \frac{1}{2} wcdot AC wcdot BH = \frac{1}{2} wcdot 20 wcdot 24 = 240 \text{ см}^2. \]
4. Полупериметр треугольника \(p\) равен:
   \[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{26 + 26 + 20}{2} = \frac{72}{2} = 36 \text{ см}. \]
5. Радиус вписанной окружности находится по формуле:
   \[ r_{вп.} = \frac{S}{p} = \frac{240}{36} = \frac{20}{3} \text{ см}. \]

2. Нахождение радиуса описанной окружности \(R_{on.}\)

Радиус описанной окружности можно найти по формуле:

\[ R_{on.} = \frac{abc}{4S} \]

где \(a, b, c\) — стороны треугольника, \(S\) — его площадь.

\[ R_{on.} = \frac{26 wcdot 26 wcdot 20}{4 wcdot 240} = \frac{13520}{960} = \frac{1352}{96} = \frac{169}{12} \text{ см}. \]

Или, используя другую формулу для равнобедренного треугольника:

\[ R_{on.} = \frac{b^2}{2h_a} \]

где \(b\) — длина боковой стороны, \(h_a\) — высота, проведённая к основанию.

\[ R_{on.} = \frac{26^2}{2 wcdot 24} = \frac{676}{48} = \frac{169}{12} \text{ см}. \]

Ответ: \(r_{вп.} = \frac{20}{3} \text{ см}, R_{on.} = \frac{169}{12} \text{ см}\).