Дано: $$\triangle ABC$$ — равнобедренный. $$\angle C$$ в 2 раза меньше $$\angle A$$. $$\angle CBD$$ — внешний. Найти: $$\angle CBD$$

Решение:

Задача на нахождение углов в равнобедренном треугольнике.

1. Обозначение углов: Пусть $$\angle A = x$$. Тогда $$\angle C = \frac{x}{2}$$.
2. Сумма углов в $$\triangle ABC$$: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $$\angle A = \angle B$$. Сумма углов в треугольнике равна $$180^{\circ}$$. Следовательно, $$x + x + \frac{x}{2} = 180^{\circ}$$.
3. Решение уравнения: $$2x + \frac{x}{2} = 180^{\circ} \implies \frac{4x + x}{2} = 180^{\circ} \implies \frac{5x}{2} = 180^{\circ} \implies 5x = 360^{\circ} \implies x = \frac{360^{\circ}}{5} = 72^{\circ}$$.
4. Вычисление углов: $$\angle A = \angle B = 72^{\circ}$$, $$\angle C = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ}$$.
5. Внешний угол: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. $$\angle CBD = \angle A + \angle C = 72^{\circ} + 36^{\circ} = 108^{\circ}$$.
6. Альтернативный способ: Внешний угол $$\angle CBD$$ смежен с углом $$\angle ABC$$. Сумма смежных углов равна $$180^{\circ}$$. $$\angle CBD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$$.

Ответ: $$108^{\circ}$$