2

Дано:

• \[ \triangle ABM \]
• \[ AB \perp BM \]
• \[ AM = 30 \]
• \[ \angle AMB = 60^{\circ} \]

Найти:

• \[ AB \]
• \[ BM \]

Решение:

Это задача на решение прямоугольного треугольника. У нас есть гипотенуза AM и один из острых углов ∠ AMB.

1. Нахождение BM:

   Катет BM лежит напротив угла ∠ BAM. Чтобы найти BM, нам нужно использовать тригонометрическую функцию синуса угла ∠ BAM или косинуса угла ∠ AMB.

   В прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла:

   \[ \sin(\angle BAM) = \frac{BM}{AM} \]

   Сначала найдем угол ∠ BAM. Сумма углов в треугольнике равна 180°, а в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

   \[ \angle BAM + \angle AMB = 90^{\circ} \]

   Подставим известное значение:

   \[ \angle BAM + 60^{\circ} = 90^{\circ} \]

   Вычтем 60° из обеих частей:

   \[ \angle BAM = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \]

   Теперь найдем BM:

   \[ BM = AM \cdot \sin(\angle BAM) \]

   Подставим значения:

   \[ BM = 30 \cdot \sin(30^{\circ}) \]

   Значение sin(30°) равно 0.5 (или 1/2).

   \[ BM = 30 \cdot 0.5 = 15 \]
2. Нахождение AB:

   Катет AB лежит напротив угла ∠ AMB. Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса угла ∠ AMB или косинуса угла ∠ BAM.

   Используем косинус угла ∠ BAM:

   \[ \cos(\angle BAM) = \frac{AB}{AM} \]

   Выразим AB:

   \[ AB = AM \cdot \cos(\angle BAM) \]

   Подставим значения:

   \[ AB = 30 \cdot \cos(30^{\circ}) \]

   Значение cos(30°) равно √3 / 2 (приблизительно 0.866).

   \[ AB = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \]
3. Альтернативный способ для AB:

   Можно также использовать теорему Пифагора, зная катеты BM и гипотенузу AM:

   \[ AB^2 + BM^2 = AM^2 \]

   Подставим значения:

   \[ AB^2 + 15^2 = 30^2 \]

   Вычислим квадраты:

   \[ AB^2 + 225 = 900 \]

   Вычтем 225 из обеих частей:

   \[ AB^2 = 900 - 225 \]

   AB² = 675

   Извлечем квадратный корень:

   \[ AB = \sqrt{675} = \sqrt{225 \cdot 3} = 15\sqrt{3} \]

Ответ: AB = 15√3, BM = 15