Дано: угол ADB = 150° R = 6 Аив - принадлежат окр. Найти: Sзаштрихованной фигуры

Question

Вопрос:

Дано: угол ADB = 150° R = 6 Аив - принадлежат окр. Найти: Sзаштрихованной фигуры

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Нам нужно найти площадь заштрихованной фигуры.

Дано:

Угол $\angle ADB = 150^{\circ}$
Радиус окружности $R = 6$
Точки $A$ и $B$ принадлежат окружности.

Найти:

Площадь заштрихованной фигуры.

Решение:

Заштрихованная фигура представляет собой сегмент круга. Чтобы найти площадь сегмента, нам нужно знать площадь сектора, который он образует, и площадь треугольника, который также является частью этого сектора.

Площадь сектора:
Площадь сектора вычисляется по формуле:
\[ S_{сектора} = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \times \pi R^2 \]
Где $\alpha$ - центральный угол сектора, а $R$ - радиус окружности.
В нашем случае, центральный угол равен углу $\angle AOB$. В задаче дан угол $\angle ADB = 150^{\circ}$. Этот угол является вписанным и опирается на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного:
\[ \angle AOB = 2 \times \angle ADB = 2 \times 150^{\circ} = 300^{\circ} \]
Теперь найдем площадь сектора:
\[ S_{сектора} = \frac{300^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi (6)^2 \]
\[ S_{сектора} = \frac{5}{6} \times 36 \pi \]
\[ S_{сектора} = 30 \pi \]
Площадь треугольника:
Треугольник $AOB$ равнобедренный, так как $OA = OB = R = 6$. Площадь такого треугольника можно найти по формуле:
\[ S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin(\angle AOB) \]
\[ S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times \sin(300^{\circ}) \]
\[ S_{\triangle AOB} = 18 \times \sin(300^{\circ}) \]
Синус 300 градусов равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Однако, здесь есть нюанс. Заштрихованная область находится между дугой AB и хордой AB. Угол $\angle ADB = 150^{\circ}$ больше 90 градусов, это означает, что хорда AB отсекает меньший сегмент, а заштрихована большая часть круга. Центральный угол, соответствующий большей дуге, равен $360^{\circ} - 300^{\circ} = 60^{\circ}$.
Давайте пересмотрим условие. Обычно, если угол $\angle ADB$ дан как $150^{\circ}$ и точки $A$ и $B$ находятся на окружности, а $D$ - какая-то точка на окружности, то $\angle ADB$ является вписанным углом. Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на ту же дугу, равен $2 \times \angle ADB$ или $2 \times (180^{\circ} - \angle ADB)$. Если $\angle ADB = 150^{\circ}$, то это тупой вписанный угол, который опирается на большую дугу AB. Соответственно, центральный угол, опирающийся на меньшую дугу AB, будет $2 \times (180^{\circ} - 150^{\circ}) = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
По изображению видно, что заштрихована меньшая часть круга, отсекаемая хордой AB. Значит, центральный угол, который нам нужен для сектора, равен $60^{\circ}$.
Пересчитаем площадь сектора с углом 60°:
\[ S_{сектора} = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi (6)^2 \]
\[ S_{сектора} = \frac{1}{6} \times 36 \pi \]
\[ S_{сектора} = 6 \pi \]
Теперь найдем площадь треугольника AOB с центральным углом 60°:
\[ S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times \sin(60^{\circ}) \]
\[ S_{\triangle AOB} = 18 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ S_{\triangle AOB} = 9 \sqrt{3} \]
Площадь заштрихованной фигуры (сегмента):
Площадь сегмента круга равна разности площади сектора и площади треугольника:
\[ S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle AOB} \]
\[ S_{сегмента} = 6 \pi - 9 \sqrt{3} \]

Ответ:

Площадь заштрихованной фигуры равна oldmath{$$6\boldsymbol{\pi} - 9\boldsymbol{\sqrt{3}}$$}.