Дано уравнение 2cos²x + 2sin2x = 3. а) Решите данное уравнение. б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку [−3π/2; −π/2].

Решение:

Данное уравнение: \( 2\cos^2{x} + 2\sin{2x} = 3 \)

1. Преобразуем уравнение, используя формулу синуса двойного угла \( \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} \) и основное тригонометрическое тождество \( \cos^2{x} = 1 - \sin^2{x} \):
   \( 2(1 - \sin^2{x}) + 2(2\sin{x}\cos{x}) = 3 \)
   \( 2 - 2\sin^2{x} + 4\sin{x}\cos{x} = 3 \)
   \( -2\sin^2{x} + 4\sin{x}\cos{x} - 1 = 0 \)
   \( 2\sin^2{x} - 4\sin{x}\cos{x} + 1 = 0 \)
2. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2{x} \) (предполагая, что \( \cos{x} \neq 0 \)):
   \( 2\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} - 4\frac{\sin{x}\cos{x}}{\cos^2{x}} + \frac{1}{\cos^2{x}} = 0 \)
   \( 2\tan^2{x} - 4\tan{x} + (1 + \tan^2{x}) = 0 \)
   \( 3\tan^2{x} - 4\tan{x} + 1 = 0 \)
3. Сделаем замену \( t = \tan{x} \):
   \( 3t^2 - 4t + 1 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение относительно \( t \):
   \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \)
   \( t_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4+2}{6} = 1 \)
   \( t_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
5. Теперь найдём \( x \):
   \( \tan{x} = 1 \) => \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)
   \( \tan{x} = \frac{1}{3} \) => \( x = \arctan{\frac{1}{3}} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

б) Найдем корни, принадлежащие промежутку [−3π/2; −π/2].

Рассмотрим первую серию корней \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \):

• При \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} \). Этот корень принадлежит промежутку [−3π/2; −π/2], так как \( -1.5 \pi \leq -0.75 \pi \leq -0.5 \pi \).
• При \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} \). Этот корень не принадлежит промежутку.

Рассмотрим вторую серию корней \( x = \arctan{\frac{1}{3}} + \pi n \):

• При \( n = -1 \): \( x = \arctan{\frac{1}{3}} - \pi \). Известно, что \( 0 < \arctan{\frac{1}{3}} < \frac{\pi}{2} \). Следовательно, \( -\pi < x < -\frac{\pi}{2} \). Так как \( \tan{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \) и \( \tan{\frac{\pi}{4}} = 1 \), то \( \arctan{\frac{1}{3}} \) меньше \( \frac{\pi}{6} \). Значит, \( -\pi < x < -\frac{11\pi}{12} \). Это значение меньше \( -\frac{\pi}{2} \) и находится в пределах нашего промежутка.
• При \( n = -2 \): \( x = \arctan{\frac{1}{3}} - 2\pi \). Этот корень не принадлежит промежутку.

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), \( x = \arctan{\frac{1}{3}} + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \). б) \( -\frac{3\pi}{4} \), \( \arctan{\frac{1}{3}} - \pi \).