1. Дано: ВО = DO, ∠ABC = 45°, <BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ΔΑΒΟ = ACDO. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 42°. Найти: Два других угла треугольника АВС. 3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равносторонние. Доказать: АВ || CD. 4. * Дано: ∠ЕРМ = 90°, ∠MEP = 30°, МЕ = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

1. Дано: ВО = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ΔΑΒΟ = ACDO.

К сожалению, для решения данной задачи недостаточно данных. Необходима дополнительная информация о соотношении углов или сторон в треугольниках.

2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 42°. Найти: Два других угла треугольника АВС.

Пошаговое решение:

• Пусть углы при основании АС равны х. Тогда x + x + 42° = 180°.
• 2x = 180° - 42° = 138°.
• x = 138° / 2 = 69°.

Ответ: Два других угла треугольника АВС равны 69°.

3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равносторонние. Доказать: АВ || CD.

В равносторонних треугольниках все углы равны 60°. Так как треугольники ABC и ADC равносторонние, то ∠BAC = ∠DCA = 60°. Прямые AB и CD лежат накрест лежащими углами при секущей АС, значит AB || CD.

4. * Дано: ∠ЕРМ = 90°, ∠MEP = 30°, МЕ = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

Пошаговое решение:

a) В прямоугольном треугольнике MEP, ∠MEP = 30°, ME = 10 см. Катет MP, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы ME, то есть MP = ME / 2 = 10 / 2 = 5 см.

По теореме Пифагора, EP = √(ME² - MP²) = √(10² - 5²) = √(100 - 25) = √75 ≈ 8.66 см.

Так как √64 = 8 и √81 = 9, то 8 < √75 < 9.

б) Так как ∠ЕРМ = 90°, медиана PD равна половине гипотенузы ME, то есть PD = ME / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Ответ: а) Длина отрезка EP заключена между числами 8 и 9. б) Длина медианы PD равна 5 см.