Решение задачи 11

Дано: правильный шестиугольник, вписанный в окружность, сторона шестиугольника $$a_6 = 4\sqrt{3}$$.

Найти: сторону квадрата $$a_4$$, периметр квадрата $$P_4$$, площадь квадрата $$S_4$$.

Решение:

1. Радиус описанной окружности около правильного шестиугольника равен его стороне: $$R = a_6 = 4\sqrt{3}$$.
2. Диагональ квадрата, вписанного в эту же окружность, равна диаметру окружности: $$d_4 = 2R = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$.
3. Сторона квадрата может быть найдена через его диагональ: $$a_4 = \frac{d_4}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{6}}{2} = 4\sqrt{6}$$.
4. Периметр квадрата: $$P_4 = 4a_4 = 4 \cdot 4\sqrt{6} = 16\sqrt{6}$$.
5. Площадь квадрата: $$S_4 = a_4^2 = (4\sqrt{6})^2 = 16 \cdot 6 = 96$$.

Ответ: $$a_4 = 4\sqrt{6}$$, $$P_4 = 16\sqrt{6}$$, $$S_4 = 96$$.