Решение задачи 14

Дано: правильный треугольник, вписанный в окружность, сторона треугольника $$a_3 = 3\sqrt{5}$$.

Найти: сторону шестиугольника $$a_6$$, периметр шестиугольника $$P_6$$, площадь треугольника $$S_3$$.

Решение:

1. Радиус описанной окружности около правильного треугольника: $$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{15}}{3} = \sqrt{15}$$.
2. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в эту же окружность, равна радиусу окружности: $$a_6 = R = \sqrt{15}$$.
3. Периметр шестиугольника: $$P_6 = 6a_6 = 6\sqrt{15}$$.
4. Площадь треугольника: $$S_3 = \frac{a_3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(3\sqrt{5})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \cdot 5 \sqrt{3}}{4} = \frac{45\sqrt{3}}{4}$$.

Ответ: $$a_6 = \sqrt{15}$$, $$P_6 = 6\sqrt{15}$$, $$S_3 = \frac{45\sqrt{3}}{4}$$.