Дано: <ABCM=30° Найти: M Hi SOMBC

Смотри, тут всё просто: у нас есть треугольник \(MBC\), в котором угол \(ABC\) равен 30 градусам. Нам нужно найти площадь этого треугольника, зная, что \(MA\) - это высота, а угол \(MBA\) равен 60 градусам.

Разбираемся:

1. Рассмотрим треугольник \(MBA\). Он прямоугольный, так как \(MA\) - высота. Угол \(MBA\) равен 60 градусам. Значит, угол \(BMA\) равен 30 градусам (потому что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, а один угол 90, другой 60, значит, третий 30).

2. Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\). Угол \(ABC\) равен 30 градусам. Значит, угол \(BAC\) прямой, то есть 90 градусов (так как \(MA\) - высота).

3. Обозначим длину \(MA\) как \(h\). В прямоугольном треугольнике \(MBA\) можно найти длину \(AB\) через тангенс угла \(BMA\):

   \[ tg(30^\circ) = \frac{AB}{MA} = \frac{AB}{h} \]

   Так как \(tg(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\, то

   \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{h} \]

   Отсюда выразим \(AB\):

   \[ AB = \frac{h}{\sqrt{3}} \]

4. Теперь найдем длину \(BC\) в треугольнике \(ABC\). Так как угол \(BAC\) прямой, то

   \[ tg(30^\circ) = \frac{AC}{AB} \]

   Пусть \(AC = x\), тогда

   \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\frac{h}{\sqrt{3}}} \]

   Выразим \(x\):

   \[ x = \frac{h}{3} \]

   Тогда \(BC\) найдем по теореме Пифагора:

   \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

   Подставим значения:

   \[ BC^2 = (\frac{h}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{h}{3})^2 \] \[ BC^2 = \frac{h^2}{3} + \frac{h^2}{9} \] \[ BC^2 = \frac{3h^2 + h^2}{9} = \frac{4h^2}{9} \] \[ BC = \sqrt{\frac{4h^2}{9}} = \frac{2h}{3} \]

5. Площадь треугольника \(MBC\) равна половине произведения высоты на основание:

   \[ S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot MA \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{2h}{3} = \frac{h^2}{3} \]

Ответ: \(S_{MBC} = \frac{h^2}{3}\)

Проверка за 10 секунд: Площадь треугольника зависит от квадрата высоты, деленного на 3.

Доп. профит: Если известна только высота, площадь можно выразить через неё.