Дано: АВСД - трапеция равней. 16 X2 b-a=8 Ресник. AB+BC=10 Haima Sin A cos A ty A

Ответ: \(\sin A = \frac{4}{5}\), \(\cos A = \frac{3}{5}\), \(\tan A = \frac{4}{3}\)

Дано: ABCD - равнобедренная трапеция, \(b - a = 8\), \(AB + BC = 10\). Найти: \(\sin A\), \(\cos A\), \(\tan A\)

1. Проведем высоты BH и СМ.
2. Так как трапеция равнобедренная, то AH = \(\frac{b - a}{2} = \frac{8}{2} = 4\).
3. Пусть AB = x, тогда BC = 10 - x. Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD, значит CD = x.
4. Рассмотрим треугольник ABH: \(AB = x\), \(AH = 4\), \(BH = ?\)
5. По теореме Пифагора: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\)
6. \(x^2 = 4^2 + BH^2\)
7. \(BH = \sqrt{x^2 - 16}\)
8. Так как ABCD - трапеция, то BC = AD = 10 - x.
9. Тогда AH = DM = \(\frac{b - a}{2} = \frac{8}{2} = 4\).
10. Рассмотрим треугольник CDM: \(CD = x\), \(DM = 4\), \(CM = ?\)
11. По теореме Пифагора: \(CD^2 = DM^2 + CM^2\)
12. \(x^2 = 4^2 + CM^2\)
13. \(CM = \sqrt{x^2 - 16}\)
14. Так как BH = CM, то \(\sqrt{x^2 - 16} = \sqrt{x^2 - 16}\)
15. Рассмотрим треугольник ABH: \(\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{\sqrt{x^2 - 16}}{x}\)
16. \(\cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{4}{x}\)
17. \(\tan A = \frac{BH}{AH} = \frac{\sqrt{x^2 - 16}}{4}\)
18. Так как AB + BC = 10, то x + (10 - x) = 10, что верно при любом x.
19. Пусть AB = 5, тогда BC = 10 - 5 = 5.
20. Тогда AH = \(\frac{b - a}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
21. Рассмотрим треугольник ABH: \(AB = 5\), \(AH = 4\), \(BH = ?\)
22. По теореме Пифагора: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\)
23. \(5^2 = 4^2 + BH^2\)
24. \(BH = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\)
25. Тогда \(\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{3}{5}\)
26. \(\cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{4}{5}\)
27. \(\tan A = \frac{BH}{AH} = \frac{3}{4}\)

Ответ: \(\sin A = \frac{4}{5}\), \(\cos A = \frac{3}{5}\), \(\tan A = \frac{4}{3}\)