Дано: MN = 17 мм; ∠MNK = 60°. Найти: KN = мм.

Краткое пояснение: Угол MNK опирается на дугу MK, а угол MON - центральный угол, опирающийся на ту же дугу. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, и вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, центральный угол в два раза больше вписанного и равен 120 градусам. Так как MO и NO - радиусы окружности, треугольник MON - равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Следовательно, угол OMN равен углу ONM и равен (180-120)/2 = 30 градусов. Зная, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны 30 градусам и сторону MN = 17 мм, можно найти KN. Так как углы при основании равны 60 градусам, треугольник равносторонний. Следовательно, KN = MN = 17 мм.

Решение:

1. Угол \( \angle MON = 2 \cdot \angle MNK = 2 \cdot 60° = 120° \).
2. В \( \triangle MON \) углы при основании \( \angle OMN = \angle ONM = (180° - 120°) / 2 = 30° \).
3. \( \triangle MON \) - равнобедренный, так как \( MO = NO \) (радиусы окружности).
4. В \( \triangle MNK \) углы при основании \( \angle MNK = \angle MKN = 60° \), значит, он равносторонний.
5. Следовательно, \( KN = MN = 17 \) мм.

Ответ: 17 мм