Дано: Окр(0;r₁) Окр(0;Г₂) ВА; СD-касательные. AK=2 BK=6 Найти: Гм Решение: √2 B 2 6T С А N 10 1) Рассмотрим ДВОΑ: АО-ВО-Г => ДВОА равнобедр

Ответ: r = 4

Решение:

1. Рассмотрим треугольник BOA. Так как AO = BO = r, то треугольник BOA равнобедренный.
2. По условию AK = 2 и BK = 6. Следовательно, AB = AK + BK = 2 + 6 = 8.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник CTO, где CT – касательная к меньшей окружности. Тогда BT = BK = 6 (как отрезки касательных, проведенных из одной точки), AT = AK = 2.
4. Пусть r₁ – радиус меньшей окружности, r₂ – радиус большей окружности. Тогда OT = r₁, OA = r₂.
5. Треугольник ATO прямоугольный, так как касательная AT перпендикулярна радиусу OT. Тогда по теореме Пифагора:
   \[AT^2 + OT^2 = AO^2\] \[2^2 + r_1^2 = r_2^2\] \[4 + r_1^2 = r_2^2 \qquad (1)\]
6. Аналогично, треугольник BTO прямоугольный, так как касательная BT перпендикулярна радиусу OT. Тогда:
   \[BT^2 + OT^2 = BO^2\] \[6^2 + r_1^2 = r_2^2\] \[36 + r_1^2 = r_2^2 \qquad (2)\]
7. Приравняем уравнения (1) и (2):
   \[4 + r_1^2 = 36 + r_1^2\] \[r_2 = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4\]
8. Следовательно, r = 4.

Ответ: r = 4