Даны \(\triangle ABC\) и \(\triangle DEF\), \(AC\) и \(DF\) – основания соответствующих треугольников. Известно, что их высоты, проведённые к основаниям, равны. Найди \(AC\), если \(S_{\triangle ABC} = 30\), \(S_{\triangle DEF} = 1,5\), \(DF = 5\).

Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\] где \(a\) — основание треугольника, \(h\) — высота, проведённая к этому основанию. Пусть \(h\) — высота, проведённая к основаниям \(AC\) и \(DF\) в треугольниках \(\triangle ABC\) и \(\triangle DEF\) соответственно. Тогда: \[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h\] \[S_{\triangle DEF} = \frac{1}{2} \cdot DF \cdot h\] Из условия задачи известно, что \(S_{\triangle ABC} = 30\), \(S_{\triangle DEF} = 1,5\), \(DF = 5\). Подставим известные значения в формулы площадей: \[30 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h\] \[1,5 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h\] Выразим \(h\) из второго уравнения: \[1,5 = \frac{5}{2} \cdot h\] \[h = \frac{2 \cdot 1,5}{5} = \frac{3}{5} = 0,6\] Теперь подставим найденное значение \(h\) в первое уравнение: \[30 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 0,6\] \[30 = 0,3 \cdot AC\] \[AC = \frac{30}{0,3} = 100\] Ответ: 100